2017年江西师范大学数学与信息科学学院812高等数学(决策学方向)考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 求函数
的泰勒级数，并验证它在整个数轴上收敛于这个函数。
【答案】在定点x 0处，因故
的泰勒级数为
因为对任意的有
，而（其中介于x 0\与x 之间）
所以在整个数轴上，有
于是得
2． 设函数f （t ）在
内有连续导数，且满足
（1）求f （t ） （2）计算【答案】（1）在令（2）令
，则
，则
则
且P 、Q 有连续一阶导，则
是点至的任意光滑曲线。
两边同时对x 求导得
是某函数F （x , y ）的全微
分，即
故
3． 己知水渠的横断面为等腰梯形，斜角
【答案】由题意知
又
所
以
。
4． 求下列幂级数的和函数：
【答案】（1）
则
当
时，原级数收敛，当
即
即
时，因级数的一般项
从0到x 积分并逐项积分
上式两端对x 求导，得
故级数发散。
，而h>o
且
得
，因此湿周函数的定义域
为
。当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时，求湿
周L （L=AB+BC+CD）与水深h 之间的函数关系式，并指明其定义域。
因此原级数的收敛域为
设和函数为
（2）则
当时，级数
时，级数收敛；当
与
时，因级数一般项故级数发散；当
设和函
：是收敛的交错级数，因此原级数的收敛域为
，则
数为s （x ）
在（-1, 1）内，上式两端对x 求导，得
于是
又由于幂级数在（3）令
处收敛，且
幂级数
的收敛域为
于是原级数的和函数
（4）径为R=1，当
时，级数
与
由
得幂级数的收敛半
均收敛，故幂级数的收敛域为[-1, 1]. 记其和函数为
即有
在
处连续，故
设和函数为s （x ）, 即当x=0时，s （0）=0； 当
时，有
上式两端对x 求导，得
注意到
上式两端从0到x 积分，得