2017年江西师范大学数学与信息科学学院823高等数学[专业硕士]考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． （1）对
（2）设数列（3）求
，证明不等式满足。
则由
，且
证明
收敛；
【答案】（1）令
即
（2）已知
，则由
即
有界，又由①式与②式有
即由
单调。 单调有界
收敛。 ，
因
时
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（3
）记由
令，因此，
，
取极限得。
，又由①式，若
2． 在平面
上求一点，使它到及三直线的距离平方之和为最小。
，三
【答案】设所求点为距离平方之和为
，则此点到三直线的距离依次为
由
求得唯一可能的极值点点即为
。
。根据问题本身可知，距离平方和最小的点必定存在，故所求
3． 含有未知函数的导数的方程称为微分方程, 例如方程为已知函数。如果函数
, 其中f x ）为未知函数的导数, （
就称为这
代入微分方程, 使微分方程成为恒等式, 那么函数
个微分方程的解。求下列微分方程满足所给条件
【答案】由
, 得
, 于是所求的解为
由由
, 得, 得
故
, 于是所求的解为
4． 一平面过点（1，0，﹣l ）且平行于向量a=（2，1，1）和b=（1，﹣1，0），试求这平面方程.
【答案】所求平面平行于向量a 和b ，可取平面的法向量
故所求平面为1·（x －1）＋1·（y －0）－3·（z ＋1）=0，即
x ＋y －3z －4=0
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5． 计算
【答案】添加曲面根据高斯公式得
，面
记
所围成的区域，关于xOy 平面对称，可知
令
。
。则
，其中
取与y 轴正向相反的一侧。
，
其中
为曲
取外侧。
又
其中
关于x 轴对称，故
6． 设
【答案】函数在x=1处无定义。 因为
所以x=1为f （x ）的第二类间断点。
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求f （x ）的间断点，并说明间断点所属类型。