2017年江西师范大学数学与信息科学学院823高等数学[专业硕士]考研冲刺密押题
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一、计算题
1． 设
（1）求极限（2）证明（3）求和【答案】（1）当
；
。
时，有
故
由（2）由
知
（3）易知
由
，反复利用此公式，得 及夹逼准则知
。
即
故
2． 有一闸门，它的形状和尺寸如图所示，水面超过门顶2m ，求闸门上所受的水压力。
，则p （x ）=1000gx，取x 为积分变量，则x 的变化【答案】设水深zm 的地方压强为p （x ）范围为[2, 5], 对该区间内任一小区间[x，x+dx]，压力为闸门上所受水压力为
3． 在第一卦限内作椭球面
的切平面，使该切平面与三坐标面所围成的四面体
，因此
的体积最小. 求这切平面的切点，并求此最小体积.
【答案】设切点为
，
曲面在点M 处的切平面方程为
即
于是，切平面在三个坐标轴上的截距依次为面体的体积为
，切平面与三个坐标面所围成的四
在数
的条件下，求V 的最小值，即求分母的最大值。作拉格朗日函
令
，并由约束条件
从而
于是，得可能极值点四面体的最小体积为
。由此问题的性质知，所求的切点为
，得
，
4． 半径为r 的球沉如水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需作多少功？
【答案】取x 轴的正向铅直向上，沉入水中的球心为原点，并取x 为积分变量，则x 的变化范围为[-r，r]对应区间[x，x+dx]的球的薄片的体积为
由于该部分在水面以下重力与浮力的合力为零（因为球的密度与水的密度相同，在水面以上移动距离为r+x, 故作功为