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一、填空题

1． 设为质量均匀分布的半圆

【答案】【解析】

2．

=_____。

【答案】ln2 【解析】

3． 设曲线

【答案】-2 【解析】由条件可知

，故

4． 级数

【答案】

的和为_____。

和

在点（0, 1）处有公共的切线，则

=_____。

线密度为

，则

对x 轴的转动惯量

_____。

【解析】令

则有

5． 过直线

且平行于曲线【答案】

【解析】由题意设所求平面为

在点

处的切线的平面方程为_____。

即

在曲线的两边对X 求导数得。

将点故曲线在即解得 6． 设曲线

【答案】216π 【解析】

代入，解得，

。 。

处的切线的方向向量为

由题意知，所求平面的法向量与切线的方向向量垂直，

，故所求平面方程为。

，取逆时针方向，则_____。

解法一：再用参数方程化为定积分：

则有

解法二：为了去掉绝对值，把C 分成两段：配上坐标轴部分，分别构成闭曲线

，分别位于上半平面与下半平面，并

，均为逆时针方向，见下图。

其中坐标轴部分取积分两次，但方向相反抵消了。

围成的区域记为

，它们的面积相等为3π。在

解法三：直接利用对称性 C 关于x 轴对称，于是原积分= 7．

【答案】-3π

【解析】按题中条件旋转所得的旋转曲面的方程为

，则

上用格林公式得

对y 为偶函数，则。

_____，其中为 绕x 轴旋转一周所得曲面的外侧。