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一、证明题

1． 用区间套定理证明闭区间上连续函数的零点存在定理.

【答案】不妨设若于是有同样, 若若于是有

取

得证；

若

如此继续可得闭区间套

取

满足

且满足

且

所以

为递增数列, 又因为

也有上界. 设正数综上所述, 得

3． 证明对任意自然数n ,

方程

. 【答案】令

因此, 由连续函数的零点定理知,

在

则

上有零点.

在区间

上总有惟一实根X n ，

并求

是

为递减数列, 且可知, 数

列为递减数列, 所以的一个上界. 由

则故有

与

都存在且相等.

有上界,

因而数列

取

若若

得证； , 取

于是由闭区间套定理知存在惟一的因为由于

2． 证明:若n

,

【答案】

由

在

处连续, 故

是有界数列, 设正数M , 使得对一切

于是, 数列可得

都存在. 再由

都是单调有界的, 所以

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又从而

在

上存在惟一的零点, 即方程.

.

所以

在上单调.

在区间[0, 1]上总有惟一实根对

4．

证明:若

【答案】

由于当

时

即且

两边取极限得

. 则因此, 当

根据数列极限的保号性知, 对任意的

时, 有

存在正整数N , 使得

又因为

5． 设方程组

证明:除了不能把x , y

, z 用u

惟一表出外,

其他任何三个变量都能用第四个变量惟一表出. 【答案】令

则F 在上可微, 且连续,

方程F=0中任何三个变量能否用第四个变量惟一表出, 主要是看是否满足定理的条件（iii ）.

（1）记

因为

所以x , y , z 不能用u 惟一表出. （2）记

因为

由迫敛性

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所以当（3）记

因为

所以当⑷记

因为

所以当 6． 证明:

对

成立.

这样就将问题转化为求令

解之可得, 在D 的内部有惟一驻点（1, 1）, 且注意到,

和,

,

所以f （x , y ）在D 的内部最大值为下面求f （x , y ）在D 的边界上的最大值. 在y=0上, 令最大值为

. 综上, f （x , y）在D 上的最大值为

, 即

; 可得驻点

.

此时f （0, 0）=0,

. 因此, f （

x , y ）在y=0上的

在区域

上的最大值.

【答案】将原不等式变形为

时

, 故y , z , u 能用x 惟一表出.

时,

, 故x , z , u 能用y 唯一表出.

时

, 故x ,

y , u 能用

z 惟一表出.

同理, f （x , y ）在x=0上的最大值为