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一、证明题

1． 设f （X ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内有二阶导数, 且

求证:

（1）函数f （x ）在（0, 1）内恰有两个零点; （2）至少存在一点

, 使得

（见图）:

【答案】（1）函数f （x ）在[0, 1]上有惟一的最小值点

图

显然

, 否则

, 这与

矛盾. 又因为

否则由凹函数的最大值在端点达到, 导致于是有所以导致（2）令

又根据第（1）小题,

, 使得

有一个零点, 这f" （X ）>0矛盾

, 注意到由

推出, 所以

»

于是

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, 这又与

. 又因为f （x ）在[0, 1]上连续,

, 使得

矛盾.

如果f （x ）在（0, 1）内有三个零点, 由罗尔定理, 函数在（0, 1）内有两个零点,

故有

即

. 再由F （x ）的连续性, 存在

, 使得

上连续, 则存在点

,

其中

为L 的弧长.

存在, 且

又因f 在L 上连续, L 为光滑曲线, 所以定理知:

-使

令

, 显然

, 所以

与

在

上连续, 由积分中值

【答案】由于f 在光滑曲线L 上连续, 从而曲线积分

. 即

使得

.

2． 证明:若函数, 在光滑曲线L :

二、解答题

3． 设

为

上的连续递增函数, 则

. 即可.

使

4． —个半球形（直径为20米）的容器内盛满了水. 试问把水抽尽需作多少功？

【答案】如图所示, 功的微元为

, 故所求的功为

.

【答案】只要证明由于

单调递增, 利用积分第二中值定理, 则存在

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图

5． 下列级数哪些是绝对收敛, 条件收敛或发散的:

（1）（2）（3）（

4）（5）（6）（7）（

8）

而

收敛,

所以原级数绝对收敛.

【答案】（1）因为（2）因为

（3

）根据p

的取值范围讨论. 设

时

, 因p>0时, 因

发散,

即原级数在

时, 记

则当x 充分大时

由级数收敛的必要条件知原级数发散.

不存在, 故原级数发散.

而此时

收敛, 故p>l时原级数绝对收敛, 且

时

时不是绝对收敛

.

则

从而当n 充分大时数列

单调递减, 又

故由莱布尼茨判

别法知原级数收敛且为条件收敛.

（4）记列且

（5）因数列以原级数发散.

（6）记

因

故可知:

所以

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因而发散, 故原级数不是绝对收敛. 又因为单调递减数

故由莱布尼茨判别法知原级数条件收敛. .

单调递减且

所以级数

收敛, 又

发散, 且

所

发散, 即原级数不是绝对收敛. 又记 时,

为单调减函数, 又