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一、证明题

1． 设

证明:【答案】因

即可.

设即所以故 2． 设

【答案】

所以f （x , y ）在点在D 中取两个点列

, 则

. 证明f （x , y ）在D 上连续, 但不一致连续.

, 由极限的四则运算法则知

连续, 从而f （x , y）在D 上连续.

, 则

但

所以f （x , y ）在D 上不一致连续.

而

不可能在D 内部取得极值,

的最大值和最小值只能在D 的边界上取得.

. 对D 内任何点（x , y ）, 由于故

在有界闭区域D 内有二阶连续的偏导数, 有的最大值、最小值只能在区域的边界上取得. 在界闭区域D 上连续, 故由连续函数的最值性知

在D 上一定可取得

处

在D 的内部不能取得极值, 这里只需证明在D 内任何点

最大值和最小值, 下证

二、解答题

3． 设函数, 的周期为

, 且

试利用, 的傅里叶展开计算

的和数.

【答案】傅里叶系数

由于f （x ）在

上连续, 由收敛定理知对

在端点x=0和令

4． 研究函数

当y ＞0时,

当y ＜0时,

因此

所以F （y ）在y=0处不连续, 当F （y ）连续.

5． 求极限

【答案】应用泰勒展开式得

原极限

6． 设

在平面上二次连续可微,

；

.

时

在[0, 1]

×[c, d]上连续, 所以当.

时

, 函数

的连续性, 其中f

（x ）在闭区间[0, 1]上是正的连续函数.

.

【答案】

由于f （x

）在

[0, 1]上是正的连续函数, 故存在正数m , 使得,

, 有

, 故

.

处, 其傅里叶级数收敛于

, 有

（1）用u 关于r , 的偏导数表沄

（2）用u 关于r , 的一、二阶偏导数表示【答案】

（1）（2）

7．

（1）设级数

（2）讨论级数

在X 上一致收敛, 求证:级数的一般项

在x>0上的一致收敛性.

, 使得

即得

在X 上一致趋于零.

可知

,

对任意固定的x 收敛

. 但

因此根据（1）, 原级数在x>0上不一致收敛.

8． 求极限

【答案】记

.

则

即

而

,

故

.

9． 应用幂级数性质求下列级数的和:

（1） （2） 【答案】⑴设

则

在X 上一致趋于零

;

【答案】

（1）由一致收敛原理, p>1, 有

（2

）对固定的x>0, 由