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一、证明题

1． 设f 、g 、h 是定义在

证明: （1）若

（2）又若

【答案】（1

）因为

当

时, 便有

由题设于是, 当（2）由又因为

2． 证明:

（1）若F 1, F 2为闭集, 则（2）若E 1, E 2为开集, 则（3）若F 为闭集, E 为开集, 则【答案】（1）设P 为于是也有

为闭集

.

故同理可证（2）设设使得

即为开集,

则有'

且为闭集. 也为闭集.

有

由于

或从而有使得

不妨设

, 因此

为开集.

因而F 1和F 2至少有一个集合含有

与与

都为闭集； 都为开集； 为闭集

为开集.

时

,

得

,

, 所以, 由迫敛性定理知,

可得

,

, 再由定理知,

, 收敛.

,

与

与

都收敛, 则

, 则

也收敛;

收敛, 所以由定理可知,

对任给

存在

，使得

上的三个连续函数, 且成立不等式

.

的聚点, 存在一个各点互不相同的收敛于P 的点列

中的无限多项, 不妨设

从而P 为F 1的聚点

.

则存在点A 的某邻域U （A ）使得

也存在点B 的某邻域

为开集, 则存在点B 的某邻

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因此, 存在点B 的邻域所以

为开集.

c

c

其中使得

（3）若F 为闭集

, E 为开集, F 为开集, E 为闭集. 又从而由（1）、（2）知

3． 设

f （x ）对一切

证明:【答案】

, 因为

为闭集

为开集.

, ,

在[0, b]

上可积,

且

所以

, 当x>A

时有

. 于是

因f

（x ）在[0, A]

上可积, 从而有界, 所以

于是

,

使得.

因当

时, 有

, 所以对

, 当

时有

, 故

二、解答题

4． 设

（1）H 能否覆盖（0, 1）?

（2）能否从H 中选出有限个开区间覆盖（i ）【答案】（1）

有

>有

. 令

, 于是

的子集

.

? , 所以

,

. 即

. 问

. 故H 能覆盖（0

, 1）.

（2）设从H 中选出m 个开区间, 它们是则并实际上

从H 中选出98个开区间

的下确界为

. 故不能从H 中选出有限个开区间来覆盖

因为

.

的拐点?

所以这些开区间覆盖了

故可以从H 中选出有限个开区间覆盖

5． 问a 和b 为何值时, 点（1, 3）为曲线

【答案】

, .

. 由（1, 3）为该曲线的拐点知,

,

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由此得到方程组

6． 计算积分

, 解得

【答案】因为

所以

而

对

一致收敛, 因此

7． 在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数:

（1）（2）（3

）

【答案】

（1）（i ）f （

x ）及其周期延拓的图像如图1所示,

图1

显然f （

x ）在因为

所以在区间

内,

（ii ）函数f （x ）及其周期延拓的图像如图2所示,

内按段光滑, 由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数,