2018年湖南科技大学数学与计算科学学院612数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
且
是一个严格开区间套, 即满足
证明:存在惟一的一点
使得
【答案】由题设知, 使得
2． 证明:对黎曼函数
【答案】
是一个闭区间套. 由区间套定理知, 存在惟一的点, 又因
, 所以
有
（当
或1时, 考虑单侧极限）
上的黎曼函数的定义为
对于任意的满足不等式的正整数q 只有有限个. 设内只有有限多个既约真分数使得
（若
为既约真分数, 则
取
.
若
使得则当
因而p 也只有有限个. 于是在
时, 有
内不含这有限个既约真分数.
则当
则当
故
二、解答题
3． 求下列函数微分:
【答案】（1）（2）（3）（4）（5）
第 2 页，共 32 页
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（6）
4
． 求下列函数带佩亚诺型余项的麦克劳林公式:
（1）（
2）⑶【答案】
（1
）
因此
f
（x ）带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为
（
2
）
,
故
于是
（3）
*
故有
于是
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5
到含x 的项；
到含
x 的项.
,
5
,
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5． 试给出函数f 的例子, 使性有矛盾吗?
【答案】令
恒成立, 而在某一点
在实数集R 上
处有这同极限的局部保号, 这与极限的局部保.
恒成立. 但
号性不矛盾. 因为函数极限的局部保号性定理的题设要求
6． 计算第二型曲线积分
（
1）
L :（2
）L
:所以
（2）
沿逆时针方向;
的边界, 沿逆时针方向.
,
【答案】（1）L 的参数方程为
7． 设f （x ）在
【答案】由条件得
即
.
8． 试求下列极限:
（1
）（2）（3）（4）
【答案】（1）当
时, 因为
且
故
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上连续, 且满足条件. 求证:f （x ）为一常数.
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