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一、证明题

1． 证明

：

【答案】不妨设另一方面，还有

综合上述两方面，可得

2． 设总体的概率函数p （x ; θ）的费希尔信息量存在，若二阶导数证明费希尔信息量

【答案】记

则

所以

另一方面，

这就证明了 3． 设变量序列

为独立同分布的随机变量序列, 其方差有限, 且Xn 不恒为常数. 如果不服从大数定律.

则

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则

对一切的存在，

, 试证:随机

【答案】

由此得

倘若

服从大数定律, 则对任意的

有

于是, 当n 充分大时, 有

记

则

由的任意性,

不妨取

咱矛盾, 所以

4． 设连续随机变量

则当n 充分大时,

有不服从大数定律.

,

这与前面推出的

, 由此得

独立同分布, 试证:

【答案】设诸而事件

的密度函数为P （x ）, 其联合密度函数为.

从而该事件的概率为

若记诸

的分布函数为

则上式积分可化为

5． 设为一事件域，

若

试证： （1）（2）有限并（3）有限交（4）可列交（5）差运算

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【答案】（1）因为为一事件域，所以

其中

所以所以所以

由

由

故其对立事件

（2）构造一个事件序列

由此得（3）因为（4）因为（5）因为

得得

的相关系数为

由（3）（有限交）得是样本, 证明

则

与

6． 设总体二阶矩存在,

【答案】不妨设总体的方差为

由

由于,

因而

所以

7． 设连续随机变量x 的密度函数p （x ）是一个偶函数，F （x ）为X 的分布函数，求证对任意实数a>0，有

（1）（2）（3）且从（1）在

则

所以

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，

【答案】因为p （X ）是一个偶函数，所以P （-x ）=P（x ）