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一、证明题

1． 设随机变量量.

【答案】

令

, 两边取对数, 并将

所以

而

正是

的特征函数, 由特征函数的唯一性定理及判断弱

, 则由X 的特征函数

..

展开为级数形式, 可得

可

得

, 证明:当

时, 随机变量

按分布收敛于标准正态变

收敛的方法知结论成立.

2． 设为一独立同分布的随机变量序列, 已知时,

近似服从正态分布, 并指出此正态分布的参数.

【答案】

因为

为独立同分布的随机变量序列,

所以

试证明:当n 充分大

也是独立同分布的随机变量序列.

根据林德伯格-莱维中心极限定理知, 近似服从正态分布, 其参数为

3． 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性:若随机变量与Y 独立, 则

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是伽玛分布

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, 且X

的特征函数, 由唯一性定理知

4． 设二维随机变量（X , Y ）服从单位圆内的均匀分布, 其联合密度函数为

试证:X 与Y 不独立且X 与Y 不相关 【答案】先求边际密度函数

所以由又因为

和

知X 与Y 不独立.

在对称区间上是偶函数, 故

从而

所以X 与Y 不相关.

5． 设随机变量序列证:

【答案】己知则

对任意的

由切比雪夫不等式得

即

, 结论得证.

是随机变量序列, 若记

则

服从大数定律的充要条件是

【答案】先证充分性. 任对

注意到t>0时.

是增函数, 故当

因此有

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独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且

试

6． （格涅坚科大数定律）设

时, 有

所以当再证必要性. 设有

因为函数

时, 有

服从大数定律, 即

是增函数及

故则任对

服从大数定律.

存在N , 当, 得

时,

由于的任意性, 所以

7． 试证：对任意的常数

【答案】

于所以

8． 设随机向量（X , Y ）满足

证明:【答案】由所以

由此得

有

由

二、计算题

9． 盒中有n 个不同的球, 其上分别写有数字1, 2, •••, 再抽. 直到抽到有两个不同的数字为止. 求平均抽球次数.

【答案】记X 为抽球次数, 则X 的可能取值是2, 3, ….且有

又记得

则y=X-1服从参数为p 的几何分布, 因此

由此

每次随机抽出一个, 记下其号码, 放回去

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