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一、证明题

1． 设函数

【答案】

于是, 有

在

连续, 并且

求证:

存在, 并且

把这些式子左右两边对应相加得

由于

在

连续, 对

取极限,

此即

2． 利用级数收敛性, 证明序列

当

时极限存在.

则级数

的部分和为x n , 所以证

存在归结

存在, 且

【答案】令为证级数收敛. 因

由于若记

, 推出级数, 则

丨.

收敛, 也就是

存在, c 称为欧拉常数,

3． 证明:

（1）grad （u+c）=gradu（c 为常数）； （2）

（3）（4）【答案】设（1）（2）

（3〕

（4）

4． 设

，证明:

【答案】

所以

则

（

为常数）

二、解答题

5． 若x=1, 而

【答案】

,

当当

时, 时

,

, 问对于

,

与dy 之差分别是多少?

,

6． 计算下列积分:

【答案】（1）令x=1—t , 则dx=—dt , 代入原积分, 有

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所以

（用了欧拉积分

故

（2）

对上式右端第一个积分作变换:x=1+t, 则

于是有

7

． 求下列函数带佩亚诺型余项的麦克劳林公式:

（1）（2）⑶【答案】 （1）

因此

5

）

到含x 的项； 到含x 的项.

,

5