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一、证明题

1． 设f 是以

为周期的可积函数, 证明对任何实数c , 有

【答案】令

则

同理可证

2． 设

是凸域,

, 且满足

t

证明:f （x ）的海色矩阵【答案】由泰勒公式得:

根据条件

故有

.

上式消去t 并令t →0, 即得

这表明矩阵

3． 已知

【答案】

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2

是半正定的.

.

1为任一向量, 当t 充分小时, 点

是半正定的. 由于x 0任意性, 所以海森矩阵在上是半正定的. 试证

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二、解答题

4． 求下列全微分的原函数:

（1

）

（2）（2）由于

故原函数为 5． 求

【答案】令. 性知

又f （0） =0，从而于是

6．

应用格林公式计算下列曲线所围的平面面积:

（1

）星形线

.

（2）双纽线

（2）设双纽线所围的面积为S , 双纽线的极坐标方程为

且图形关于y 轴对称的, 因此

7． [1]求下列函数的傅里叶级数展开式:

（1）（2）

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【答案】（1）因d （xyz ）

=yzdx+xzdy+xydz,

故原函数为u （x ,

y , z ） =xyz+C

易知其收敛域为

.

由幂级数的逐项可导

【答案】（1）由于星形线的对称性,

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（3）（4）（5）[2] .求函数

的傅里叶级数展开式, 并应用它推出（x ）可展开为傅里叶级数,

所以在区间

内, 有

（2）在

上

所以

第 4 页，共 26 页

内按段光滑, 故由收敛定理, f

【答案】 [1]（1）将f （x ）进行周期延拓, 又因f （x ）在