2018年云南财经大学统计与数学学院601数学分析之数学分析考研仿真模拟五套题
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2018年云南财经大学统计与数学学院601数学分析之数学分析考研仿真模拟五套题（一）.... 2 2018年云南财经大学统计与数学学院601数学分析之数学分析考研仿真模拟五套题（二）.... 7 2018年云南财经大学统计与数学学院601数学分析之数学分析考研仿真模拟五套题（三）.. 14 2018年云南财经大学统计与数学学院601数学分析之数学分析考研仿真模拟五套题（四）.. 19 2018年云南财经大学统计与数学学院601数学分析之数学分析考研仿真模拟五套题（五）.. 24
一、证明题
1．
设
为[a, b]上的连续函数列, 且对任意
有
. 证明:如果
, 对任意正整数k
,
这里不妨设不妨设该收敛子列为由于再由
由于数列, 且设
, 故存在正整数N , 使得
, f （x ）在点X 0连续, 且
, 所以
由保号性, 存在正整数K , 当k>K时有所以当n>N时 2． 证明
:
【答案】令
, 则
原式
对上式右端第二个积分, 作变换
原式
这里用到了在 3． 设
证明
并说明其中等号何时成立.
【答案】由于
因此
当且仅当
即
时, 原不等式中的等号成立.
上
,
, 则有
,
. 故
, 矛盾. 从而
. , 由
f x ）, 关于n 单调递增趋于（
在[a, b]上一致收敛于f （x ）.
有界, 故必有收敛子列,
.
收及
敛于连续函数f （x ）, 则
【答案】假设
, 使得
在[a, b]上必一致收敛于f （x ）.
在[a, b]上不一致收敛于f （x ）, 则
二、解答题
4． 设a 0, a 1, a 2•••为等差数列
（1）幂级数（2）数项级数【答案】（1）因（2）考虑幂级数, 因
, 试求:
的收敛半径； 的和数.
所以收敛半径R=l.
故该幂级数收敛半径为R=2, 且收敛域为（﹣2, 2）.
设
则
从而
令x=1, 可得
所以
5． 应用比较原则判别下列级数的敛散性:
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6） （7） （8）
（9）
（10）
【答案】（1）因而级数
收敛，故
收敛. （2）因而级数收敛，故级数收敛. （3）因，而级数
发散，故级数发散.
（4）当时
，
而级数
收敛，故级数
发敛. （5）因，而级数
汷敛，故级数
收敛. （6）因
，而级数:发散，故级数
发散.
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（7）因（
8
）因收敛，
所以级数（9）因而级数（10）因为而
收敛，故级数
收敛.
而级数发散，故级数
故
发散.
而级数
收敛.
所以因此
6． 设
【答案】如果存在某证明如下:由又由以当
7． 设曲线
【答案】将
时, 由方程组
代入到方程组
而
收敛，由比较原则
，
可知级数
收敛.
. 在何种条件下能由此推出,
使得在知, 对任给的
, 使得当从而
:确定, 求曲线在
得
内
, . 存在
使得当
时,
有即
?
, 则由题设条件能推出
时, 由于
处的切线方程与法线方程.
所.
, 对上面的, 存在
解得
进一步, 将方程组
中各方程两边分别求微分, 得