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一、综合题

1． 计算五重积分

其中V :

【答案】当n=5时, 取m=2, 则

2． 计算积分

其中D :

•

是关于y 的奇函数, 故

作极坐标变换:

, 则

3． 判别下列积分的收敛性:

【答案】令（1）原积分=敛,

时发散. （2）原积分=

4． 讨论下列函数的连续性:

（1）（2）（3）

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【答案】因为积分区域D 关于x 轴对称, 而

,, 当2m －1<1时收敛,

时发散, 即当m<1时收

, 所以当ml时发散.

（4

）（5）（6）

. （

7）

（8）.

【答案】（1）函数f （x , y ）在集合:

上连续. 事实上, 当

时, 由tanu 在

连续知

故（2）设

于是当可见（3）因为

充分小时, 对任意的在

处连续, 可见f 在D 上连续, 又f 在

且

就有

故f 在D 上连续. 从而

所以又在续.

因此,

在

时,

从而

所以

在点（0, 0）处连续, 又在

故（5）设

在点

处连续, 因此, 在整个平面R 上连续. 则

2

上无定义, 因而在则存在

使从而

上处处间断.

（即x+y=k）上处处不连续.

在点（0, 0）连续.

1的点（x , y ）处, 由于f （

x , y ）是初等函数且在这些点处有定义,

故f （x , y ）连

上连续

, 又在任意点

处间断,

故仅在D 上连续. （4）因为当

的点处.

（i ）当冲为有理数时,

（ii ）当x 0为无理数时,

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于是所以（6）在因为

且

故

从而函数（7）直线以外的任意点

因此f 仅在的.

（8）因为

在其定义域

上连续,

关于u 是连续的, 由复合函数的连续

性知函数在其定义域D 上连续.

5． 计算下列第二型曲面积分

（1）

方体表面并取外侧为正向;

（2）取外侧正向;

（3）侧为正向;

（4）（5）

【答案】（1）因

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’当且仅当y

0=0时成立.

仅在

的点处, 由于

上连续.

是初等函数且有定义. 故f （x , y）连续

. 又

在点（0

, 0）处也连续,

因此f 在R 上连续. 及

上连续, 即在直线

以外的点, 函数

是连续

上的点均为函数

的不连续点, 对于上述直线

2

, 其中S 为由x=y=z=0, x=y=z=a六个平面所围的立

其中S 是以原点为中心, 边长为2的立方体表面并

其中S

是由平面x=y=z=0

和x+y+z=1

所围的四面体表面并取外

其中S 是球面的上半部分并取外侧为正向;

, 其中S 是球面

并取外侧为正向.