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一、计算题

1． 某厂产品的不合格品率为0.03, 现要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100件合格品，那么每箱至少应装多少件产品？

【答案】设每箱装l00+k件产品，则每箱中的不合格品数X 服从二项分布根据题意要求k ，使X 小于等于k 的概率至少为0.9, 即式的

k

在此p=0.03, n=100+k较大，可用二项分布的泊松近似，得式可改写为

查泊松分布表得

故取k=5是恰当的，即每箱中装105件产品可使每箱中至少有100件合格品的概率不小于0.9.

2． 设某种商品每周的需求量X 服从区间（10, 30）上均匀分布，而商店进货数为区间（10, 30）中的某一整数，商店每销售1单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理1单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每1单位商品仅获利300元. 为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量.

【答案】设进货量为a , 则利润为

所以平均利润为

按照题意要求有

解得

因此最少进货为21单位.

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.

，也就是求满足下述不等

，于是上

3． 一个房间中有n 双不同型号的鞋子, 今从中任取

（1）没有2只能配成对（设为事件A ）; （2）恰有2只能配成对（设为亊件B ）; （3）恰有

只配成对（为事件C ）.

【答案】从n 双不同型号的鞋子中取（1）若使取出的共有

种不同取法, 即

只求下列事件的概率:

只, 则基本事件总数为

双, 再从每双中取一只即可,

只都不能配成对, 则可先从n 双鞋中取出

（2）若使取出的只恰有两只能配成一对, 则可先从n 双鞋中取出一双, 然后从剩下的鞋中各取一只, 即

（3）若使取出的

只都能配成对, 则可从n 双鞋取k 双, 即

双

4． 学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量，单位为小时. 它的密度函数为

（1）确定常数c ;

（2）写出X 的分布函数；

（3）试求在20分钟内完成一道作业的概率； （4）试求10分钟以上完成一道作业的概率. 【答案】（1）因为由此解得c=21. （2）当x<0时

，当当

时

，时，

；

，

所以X 的分布函数为

（3）所求概率为（4）所求概率为

5． 设随机变量X 服从区间（1，2）上的均匀分布，试求

【答案】X 的密度函数为

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.

的密度函数.

由于X 在（1, 2）内取值，所以且

，所以

的可能取值区间为，且

，

在区间（1, 2）上为严格单调增函数，其反函数为

的密度函数为

6． 为了比较用来做鞋子后跟的两种材料的质量，，选取了15个男子（他们的生活条件各不相同）每人穿着一双新鞋，其中一只是以材料A 做后跟，另一只以材料B 做后跟，其厚度均为10mm , 过了一个月再测量厚度，得到数据如下:

表

问是否可以认定以材料A 制成的后跟比材料B 的耐穿？ （1）设

来自正态总体，结论是什么？

（2）采用符号秩和检验方法检验，结论是什么？

【答案】 （1）这是成对数据的检验问题，在假定正态分布下，以记差值d 的均值， 则需检验的假设为由于

于是检验的p 值为

p 值小于0.05, 在显著性水平0.05下可以认定以材料A 制成的后跟比材料B 的耐穿. （2）由于两个负的差值的秩分别为5和6.5, 故符号秩和检验统计量为在使用中是完全等价的），这是一个单边假设检验，检验拒绝域为

下，可知

跟比材料B 的耐穿，二者结果一致

7． 一仪器同时收到50个信号，其中第i 个信号的长度为

设

是相互独立的，且都服从

内的均匀分布，试求所以

（正号和负号，在给定n=15

，

. 此处15个差值为

，故可算出检验统计量值为

，

，观测值落入拒绝域，拒绝原假设，可以认定以材料A 制成的后

【答案】因先

利用林德伯格-莱维中心极限定理，可得

这表明:50个信号长度之和超过300的概率近似为

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