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一、填空题

1． 粒子在一维势阱中运动，波函数为

则

【答案】 2．

表示_____，几率流密度表示为_____。

则

的跃变条件为_____

。若势阱改为势垒

的跃变条件为_____。

【答案】几率密度；

3． （1）自由粒子被限制在x 和x+1处两个不可穿透壁之间，按照经典物理. 如果没有给出其他资料，则粒子在 x 和x+1/3之间的概率是_____. A.025 B.033 C.011 D.067

（2）上题中，按照量子力学. 处于最低能态的粒子在x 和x+1/3之间被找到的概率是_____. A.019 B.072 C.033 D.050 【答案】（1）B 【解析】按照经典力学，粒子处于空间的概率密度为常数，故概率与体积成正比，

即所求概率为

（2）A

【解析】取x 为原点，则有波函数为所求概率即

4． 一质量为的粒子在一维无限深方势阱为_____, 能级表达式为_____。 【答案】

5 设体系的状态波函数为．量

的关系为_____。

中运动，其状态波函数

如在该状态下测量力学是F 在确定的值则力学量算符与态矢

【答案】

6． 力学量算符必须是_____算符，以保证它的本征值为_____. 【答案】厄米；实数

【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符.

二、选择题

7． 中心力场中，算符的式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】C

8． （1）

_____；（2）

_____。

的共同征函数为

则关于这两个算符的本征值方程正确

【答案】

9． 下面哪组是泡利矩阵（ ）. A. B. C. D. 【答案】A

【解析】泡利矩阵必须满足以下对易关系

再由

最终推导出泡利矩阵只能

为

10．如果算符表示力学量应的_____。

【答案】确定值；本征值

11．下列算符

【答案】

12．量子谐振子的能量是（ ）

.

【答案】A

那么当体系处于

的本征态时，力学量F 有_____。这个值就是相

是线性算符的是_____。

【解析】

由于谐振子的哈密顿算符为

而本征值为n ，

于是谐振子能量为

三、证明题

13．假设A 、B 、C 是三个矩阵，证明【答案】

14．—粒子处于势场V （x ）中，且势V （x ）没有奇点. 假设相应的本征能量色【答案】由题意

并在方程两边同时积分

又

则

则由正交归一化条件有

有

考虑到哈密顿算符的厄米算符性质并利用式Ⅱ有设粒子本征波函数完备集为

试证明这两个波函数对应的态矢正交.

所以

是束缚态的波函数，