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一、证明题

1． 粒子自旋处于

的本征态

【答案】易知但是

，（常数）

同理，可得

因此：

2． 证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 【答案】以表示的本征值

由此得

表示所属的本征函数，则

即是实数。

因为是厄密算符，于是有

所以有：

试证明

的不确定关系

：

二、计算题

3． 已知厄米算符. （1）在A 表象中算符

满足

的矩阵表示。

且

求：

（2）在B 表象中算符的本征值和本征函数。 （3）从A 表象到B 表象的么正变换矩阵S 。 【答案】（1）由于所以，

在A 表象中算符的矩阵是

：设在A 表象中算符

的矩阵是由于

所以：

则有：

所以：

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所以算符的本征值是因为在A 表象中，算符的矩阵是对角矩阵，

利用

得：

由于是厄米算符，

则有：令

其中为任意实常数，得在A 表象中的矩阵表示式为：

（2）类似地，可求出在B 表象中算符的矩阵表示为：在B 表象中算符的本征方程为：

α和β不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即对

有：

对

有：

所以，在B 表象中算符的本征值是

，本征函数为：

和-（3）类似地，在A 表象中算符的本征值是

则

可得：

即

则有：

本征函数为：

从A 表象到B 表象的么正变换矩阵就是将算符在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即：

4． 在一维情况下，若用（a ）从薛定谔方程出发，证明

（b ）对于定态，证明几率流密度与时间无关. 【答案】（a ）设t 时刻粒子的波函数

波函数满足薛定谔方程：

对（1）两端取复共轭得，

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表示时刻t 在区间内发现粒子的几率.

其中

是几率流密度.

做运算得

上式两边同除以移项得，

则几率流密度公式为上式可表示为

两端积分得：

又由于t 时刻在区间（a ，b ）内发现粒子的几率为：代入上式可得，

（b ）对于定态波函数

代入几率流密度方程

可得，

是一个与t 无关的量，故定态的几率流密度与时间无关.

5． 粒子在二维无限深势阱中运动

，（1）写出本征能量和本征波函数； （2）若粒子受到微扰

的作用，求基态和第一激发态能级的一级修正。

【答案】 （1）根据题意，易写出粒子在二维无限深势阱中本征能量和波函数。

（2）基态的一级能量修正

在计算第一激发态能级的一级修正时，由于存在两组简并态利用简并下能级的修正方法计算. 令

则可计算出微扰

的矩阵表达式

所以

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