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一、证明题

1． 试证明，表象经么正变换后，不改变算符本征值。 【答案】设可得：

（其中

为幺正变换，则:

）

可见，本征值不变。

2． 设在电子的某自旋态中，测量自旋的x 分量和 >> 分量的平均值皆为零，则测电子自旋分量的平均值一定为

【答案】设在

或

证明这一点。

表象中，这自旋态的表示为：

则由自旋x 分量和; y 分量算符的表本为：

根据题给条件，有：

由此得：即：

或

要么自旋朝下

和

即都为自旋分量的本征态。在

这就意味着，此态要么是自旋朝上

这两个本征态中，

测量自旋分量的平无值分别为

二、计算题

3． 中子的自旋也为

磁矩为

若中子处于沿y 方向的均匀磁场中，求自旋波函数。

）

【答案】体系的哈米顿基为：

不妨取

在

表象中，

设自旋波函数为

则能量本征方程为：

久期方程为：由此可得：（1）当自旋波函数为：

时，由

并结合归一化条件

可得

（2）同理，当

时，可得自旋波函数为：

4． 设一维谐振子的初态为（1）求t 时刻的波函数（3）求演化成

所需的最短时间

任意时刻t 的波函数可表示为已知t = 0时刻的波函数是由

得，

（2）求t 时刻处于基态及第一激发态的概率.

即基态与第一激发态叠加，其中为实参数.

【答案】（1） 一维谐振子定态能量和波函数：

在n=0，1的本征态的相应能量分别为：则任意时刻t 的波函数可以表示为

（2）t 时刻处于基态的几率为（3）设

时刻粒子的波函数是

处于第一激发态的几率

即

可得

所以当n=l时有最小时间，即

5． 简述能量的测不准关系。

解得

【答案】能量测不准关系的数学表示式为即微观粒子的能量与时间不可能同时进行

准确的测量，其中一项测量的越精确，另一项的不确定程度越大。

6． 验证球面波

满足自由粒子的薛定谔方程：

（注：【答案】

故

其中

代表仅与角度有关的微分算符）

则

故

由（1）（2）（3）式可得

7． —体系初始时刻的态为

（1）求（2）如果对（3）如果对

其中

进行了测量，并得到结果

计算不确定度可得

本征值为

故

可能测得值为

及它们的乘积

此即所需证明方程.

测量，能得到哪些结果？相应的概率又是多少？

【答案】（1）由公式故

（2）由题意，m=-l，0, 1

而