2018年桂林电子科技大学数学与计算科学学院601高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、综合题
1． 己知3阶矩阵A 与3维向量X ，使得向量
（1）记（2）计算行列式【答案】⑴由
求3阶矩阵B , 使 可得
且
令
则有
移项得
由己知，
线性无关，可得
所求三阶矩阵，（2）
2． 由行列式定义证明:
线性无关，且满足
【答案】由定义，行列式中一般项为
其中所以当
是一个5级排列. 因为在这个行列式中
中有一个等于3或4或
5时，此项为0.
但是
而且各不相同，因
此至少有一个大于或等于
3, 由此可知每项都为0，因而行列式0.
3． 求齐次线性方程组
的解空间（作为
的子空间）的一组标准正交基.
【答案】齐次线性方程组的一个基础解系为
将这3个向量正交化得
再单位化，即得解空间的一组标准正交基:
4． 设
都是
中的非零多项式，且
这里
又若
证明
：不存在
且
使
【答案】用反证法，若存在
使①式成立，
则用
乘①式两端，得
由②式有
但所以
这与
矛盾.
5． 计算
【答案】将行列式升阶
这是个箭形行列式，当时，有
当
时，上述结果显然也成立.
除余
，被
除余
显然即
所以可以验证，
确实是被
除余
的多项式.
，
使
于是应有设
则可设
是
的倍式，
.
.
比较两边同次项系数得
所以
7． 证明:以下两个变换都是
的线性变换:
再求
【答案】T , S 都是
的变换显然. 再由于
.
即为所求.
解法2:同解法1，有多项式
从而
•
为求最小次数的
. 令
取
得
使
6． 求一个次数最低的实系数多项式，使其被
【答案】解法1:由题设
，
令
，则存在多项式