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一、计算题

1． 设

且试证

因此,

又因为当

时

t

当

在[a, b]上一致收敛, 由柯西收敛准则,

有

于是有

由柯西收敛准则, 得

在[a, b], 上一致收敛.

. 求证:

使得f （c ）

2． 设f （x ）在[a, b]上单调增加, 但不必连续, 且=c（c 称为f （x ）的不动点）.

【答案】方法一用区间套定理. 将[a, b]二等分,

分点记为,

若

, 否则

取当时,

取

, 取再将二等分, 分点记为c 1,

若即可. 若取

, 否则, 取

, 这样保证有, 使得

取

即可;

, 它满足如下性质:

由闭区间套定理,

使得

又由f （x ）的单调性, 有

由此, 利用f （x ）的单调递增性, 可得

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在. 上连续, 又有函数列

在

上也一致收敛.

在

在上一致收敛,

【答案】由一致连续性定理可知, 上也一致连续.

且时, 有

取即可.

若

, 这样保证

有, 当

时,

如此继续下去, 要么到某一步时, 得到一分点

要么这种步骤可无限地进行下去, 得到一个闭区间列

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即f （c ）=c. 方法二用确界原理. 令（1）由（2）

3． 设函数

（m 为正整数）, 试问: 及f 的单调性知,

. 由f 的单调性,

, 而

, 所以. 显然

, 故有上确界C. 易知 , 故

, 故

当然, .

.

由（1）、（2）知, f （c ）=c.

（1） m 等于何值时, f 在x=0连续； （2） m 等于何值时, f 在x=0可导. 【答案】（1）当（2）当

时,

时,

, 故当m 为正整数时, f 在x=0连续. , 当

不存在, 故当正整数

, 即m>1时, 时, f

在

可导.

;

4

． 回答下列问题:

（1）对极限（2）对（3

）对

【答案】 （1）因为

因而

但是

即交换运算后不相等, 这是由于理条件.

（2）因为

然而

即积分次序不能交换. 这是由于对

, 不论M 多大, 总有

使得

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能否施行极限与积分运算顺序的交换来求解？ 能否运用积分顺序交换来求解？

能否运用积分与求导运算顺序交换来求解？

在[0

, 6]上不一致收敛, 从而不符合定

且

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因而（3）因为而

在[0, 1]上不一致收敛, 所以不能交换积分次序.

所以

, 但是

显然

与

不相等, 这是由于

在[0, 1]上不一致收敛,

不符合定理的条件, 所以积分与求导运算顺序不能交换.

5． 求曲线

【答案】曲线质量为

I

6． 如图所示, 直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截, 试求截得楔形体的体积

.

的质量, 设其线密度为

.

图

【答案】椭圆柱面的方程为的性质有

, 解得

.. 于是

故所求体积

7． 周长一定的等腰三角形中, 腰与底成何比例时, 它绕底边旋转所得旋转体的体积最大？

【答案】设周长为, 腰长为X , 底长为2y , 则有

于是, 旋转体体积为

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. 设垂直于X 轴的截面面积为A （X ）, 则由相似三角形

, 即. 等腰三角形绕底边旋

, 底面半

径为

转所得旋转体是由这样两个同样的圆锥组成的, 其中每个圆锥高

为