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一、证明题

1． 证明:若级数

【答案】假设若发散.

2． 设f , g :

（1）（2）

【答案】（1）因为当故（2）因为

时, 有若

则. 所以对

发散，收敛. 因

. ,

, 且当b = 0时可逆;

等价于

. 利用不等式, 有

这表明

, 当

即

故

.

3． 设f （x ）在[a, b]上二阶连续可导, 证明:

【答案】记

. 取

, 由微分中值定理, 有

t

即

于是

, 有

, 即b=0时可逆.

时, 有

所以

,

.

, 证明:

也发散

则

也发散.

收敛，这与题设

. 发散矛盾，所以

故级数

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对上式两边, 分别关于x 1和x 2在

和

上积分, 可得

即

进而有

这就是所谓的内插不等式.

4． 设f （x ）在

（1）（2）设

上连续, 满足. 则有, f （t ） =t;

, 则t=0.

知,

数列

为收敛数列.

上连续, 对

两边取极限, 得

因此f （t ） =t.

（3）此时（1）, （2）的结论仍成立. 因为当推出t=0.

时

,

所以由

f （t ） =t可

为递减数列. 由

知, 数列

有

. 设

证明:

为收敛数列；

（3）若条件改为【答案】（1）由界.

根据单调有界定理, （2）设

, 由于f 在

二、解答题

5． 求曲线积分的曲线.

【答案】记

利用斯托克斯公式得,

等价于

这里L 是球面.

与

交成

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6． 求下列函数在指定点的导数:

（1）设（2）

设

（3

）设【答案】（1）

（2）

[.

（3）当故

x=0为f （

x ）的定义域的端点, 所以在x=0处只能讨论单侧导数.

所以

不存在.

7． 试问下面的解题方法是否正确:

求

.

及

由于

两边取极限

得

所以

这个解题

就不存在, 不能设

【答案】设方法是错误的. 因为

时,

:,

求

, 求

, 求

, ,

,

；

,

；