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一、证明题

1． 设f （x ）在区间上有界, 记

, 因为, 即M-m

是

对

, 由

知

, 使得

（a>0）上任一点的切线与向径的夹角等于向径的极角.

可得

而当

时, tanx 为单值函数, 因而由

可推出

, 即圆上任一点的切线与向

径夹角等于向径的极角. 3． 设

（1）（2）

【答案】（1）

（2）用数学归纳法证明. 由（1）知, 当n=1时, 命题成立. 假设当n=k时, 命题成立, 则当时,

即当

证明:

’所以有

的一个上界.

. 同理

, 使得

, 所以

,

【答案】对从而

综上所述:

2． 证明:圆

【答案】设切线与向径的夹角为

, 证明:

;

时, 命题也成立. 于是（2）的结论得证.

4． 试用聚点定理证明柯西收敛准则.

【答案】

有

于是

设数列

满足柯西收敛准则的条件. 如果集合

只含有有限多个不同的实数, 则从某一

的极限.

如果集合

至少

都含

矛盾.

故

的聚点,

所以存在与

设

丨收敛, 令

于是, 对任给的

, 存在正整数N , 使得当n ,

时,

项起这个数列的项为常数, 否则柯西条件不会成立. 此时,

这个常数就是数列有一个聚点.

假如

有集合

有两个不等的聚点

,

不妨设

,

令

, 则时, 有,

又因为

是

故数列

收敛于

含有无限多个不同的实数, 则由柯西条件容易得知它是有界的. 于是由聚点定理, 集合

中无限多个点.

这与取

, 存在正整数N , 当n

,

时

,

的聚点是惟一的, 记之为

对于任意, 使得

, 存在N , 使得当n

,

因而, 当

时,

二、解答题

5． 将函数

在

上展开成余弦级数.

的连续偶函数

.

所以由收敛定理可得在

上

6． 讨论下列瑕积分的收敛性:

（1） （3） （5）

（2） （4）

【答案】将f （x ）作周期性偶延拓, 得一周期为

【答案】 （1）x=0是瑕点（2）由于故积分

_收敛.

, 故积分收敛.

,

, 故x=l不是瑕点.x=0为惟一瑕点. 因

（3）x=l为瑕点（4）x=0为瑕点. 当（5

）知

收敛,

从而可知时, 积分发散.

, 此时p=l

, . 故积分, 这里

, 故当收敛. 又由

发散. 时

, 积分收敛;

,

由收敛

.

知

7． 讨论广义重积分

的敛散性, 其中

【答案】因为被积函数恒正, 故可取时, D r 趋于D. 记

作变换:

, 则

显然当p>1时, 积分收敛, 且积分值为

8．

设f

:

（2

）

.

【答案】（1）因为（2）令

因为

.

（单位阵）;

. 当积分收敛时, 求积分的值

.

. 显然当

为可微函数, 试求分别满足以下条件的函数, f （x ）: （

1）

, 即以所以有

为

主对角线

元的

对角矩阵