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一、证明题

1． 设z=f （x , y ）在有界闭区域D 上有二阶连续偏导数, 且

证明:z=f （x , y）的最大值与最小值只能在区域的边界上取到.

【答案】由f （x , y）在有界闭区域D 上连续, 所以f （x , y ）在D 上一定能取到最大值与最小值. 对D 内任一点（x , y ）, 记

由己知条件知

所以

故D 内任一点都不可能是极值点, 因此f （x , y）的最大值与最小值只能在D 的边界上取到. 2． 设f 为

上可积函数, 证明:若f 的傅里叶级数在

上一致收敛于f , 则成立帕塞瓦尔

（Parseval ）等式:

这里, a n , b n 为f 的傅里叶系数. 【答案】设

因为f （x ）的傅里叶级数在

故对上述的

上一致收敛于f , 所以, 任给

所以

从而, 由式（*）可得

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存在N , 当m>N时, 有

当m>N时,

3． 设函数f （x ）在点x=0的某邻域内有定义,

证明:

绝对收敛

存在且

.

【答案】:由于从而

存在. , 则有

故=>:因为导数定义有

当 4． 设

在

上单调增加,

不成立, 那么显然则对

存在

使得

证明:

.

由于

与单调性矛盾, 因此假设不成立.

显然M 是非空的, 下证

【答案】设用反证法, 假设不妨设

是连续函数, 则对于任意的

于是

即证得绝对收敛时, 只能有绝对收敛.

绝对收敛, 所以

, 又f （x ）在点x=0连续, 所以f （0） =0, 由, 即. （否则

与

.

的敛散性相同, 矛盾）.

二、解答题

5． 延拓下列函数, 使其在R 上连续:

【答案】（1） f （x ）在x=2无定义, 由

知x=2为f （x ）的第一类的可去间断点. 令

. 则F （x ）为f （x ）在R 上的延拓, 且在R 上连续.

（2）f （x ）在x=0无定义, 而

故x=0是该函数的第一类的可去间断点. 令

则F （x ）为f （x ）在R 上的延拓, 且在R 上连续. （3）f （x ）在x=0无定义, 而

, 所以x=0是该函数的第一类的可去间断

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点.

令

6． 设有力向

【答案】此即为求曲线积分

由Stokes 公式,

其中S 为C 围成的平面z=4上椭圆面, 方向为上侧, 由于

所以

令所以

7． 讨论函数项级数

【答案】当0l时

，

级数收敛.

不趋于0, 所以不一致收敛.

，即

于是，对于任意的敛. 8． 求

【答案】由于

之和.

, 所以考虑幂级数

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, 则F （x ）为f （x ）在R 上的延拓. 且在R 上连续.

, 试求单位质量M , 沿椭圆

移动一周（从z 轴正向看去为逆时针方向时）, 力F 所作的功.

:平面, 故

, 则,

且

在（0，1）和

的一致收敛性.

所以

，x>l, 存在，当n ＞N 时，因此，级数一致收