2017年东北财经大学数量经济学814经济学及概率论与数理统计之概率论与数理统计教程考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设
是来自
的样本,
是来自
的样本, 两总体独立.c , d
是任意两个不为0的常数, 证明
其中
【答案】由条件有
且
相互独立, 故
于是
,
与
分别是两个样本方差.
2． 若
为从分布族
为充分统计量.
【答案】样本X 的联合密度函数为
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中抽取的简单样本,
试证
由因子分解定理知,
为充分统计量.
3 设随机变量X 与Y 独立同分布, 且都服从标准正态分布N , 试证明:（0, 1）．相互独立.
【答案】设
则
所以
•由此得
和V=X/Y的联合密度为
所以
可分离变量, 即U 与V 相互独立.
4． 设随机变量X 的密度函数p （x ）关于c 点是对称的，且E （X ）存在，试证：
（1）这个对称中心c 既是均值又是中位数，即（2）如果c=0，则
因此
所以得
又由
所以
（2）当c=0时，
又由
由此得结论.
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【答案】（1）由p （x ）关于c 点对称可知：
由此得
5． 证明公式
其中
【答案】为证明此公式, 可以对积分部分施行分部积分法, 更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导, 证明其导函数相等.
注意到将等式右边的求导可给出_
而对
k=0.
对
其和前后项之间正好相互抵消, 最后仅留下一项,
也为
明了两者导函数相等, 并注意到两者在p=l时都为0, 等式得证.
6． 设总体X 的均值为方差为是来自该总体的一个样本，线性无偏估计量. 证明：与T 的相关系数为
【答案】由于于是
而
故有
从而
7． 设g （x ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且E （g （X ））存在，证明：对任意的
有
为的线性无偏估计量，故
其中
这就证
为的任一凸
【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则
8． 设计.
【答案】由于
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独立同分布，，证明：是的相合估