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一、证明题

1． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.

【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以

即A ，B 相容.

2． 试证随机变量X 的偏度系数与峰度系数对位移和改变比例尺是不变的，

即对任意的实数

与X 有相同的偏度系数与峰度系数.

【答案】因为j

所以

即Y 与X 有相同的偏度系数. 又因为

所以Y 与X 有相同的峰度系数.

3． 设二维随机向量（X , Y ）服从二维正态分布, 且

证明:对任意正常数a , b 有

【答案】记

则

由条件知p<0, 所以

由此得

令

则

所以

其中

又由

知

这就完成不等式的证明.

4． 设X 为非负连续随机变量，若

（1）（2）

存在，试证明：

【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.利

用

得

（2）因为X 为非负连续随机变量，所以

也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得

令

则

5． 设随机向量（X , Y ）满足

证明:【答案】由所以

6． 设X 〜N （0, 1）, Y 各以0.5的概率取值±1, 且假定X 与Y 相互独立. 令

（1）

（2）X 与Z 既不相关也不独立. 【答案】（1）由全概率公式可得

证明:

所以Z 〜N （0, 1）.

（2）因为E （X ）=0, E （Y ）=0, 且X 与Y 相互独立, 所以

所以X 与Z 不相关. 为证明X 与Z 是不独立的, 我们考查如下特定事件的概率, 且对其使用全概率公式

考虑到而

7 设分别自总体．

试证，对于任意常数a , b （a+b=l），达到最小.

【答案】由已知条件有

且

独立. 于是

故

这证明了又

是的无偏估计.

从而

因而当

时，Var （Z ）达到最小，此时

这个结果表明，对来自方差相等（不论均值是否相等）的两个正态总体的容量为本，上述是的线性无偏估计类

8． 若事件A 与B 互不相容，且

中方差最小的.

证明：

【答案】

故有

所以

中抽取容量为

即X 与Z 不独立.

，的两独立样本其样本方差分别为

都是的无偏估计，并确定常数a , b 使Var （Z ）

该无偏估计为

的样