2017年曲阜师范大学管理学院750数学分析A考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 证明下列结论：
(1) 函数不存在原函数；
(2) 符号函数不存在原函数. 【答案】(1) 假设
则
于是
当
时
有
当
时
有
由
于
连续，
即
从而
这与矛盾.
(2) 假设
由拉格朗日定理得
这说明在点不可导，与相矛盾.
2． 证明：函数
在点(0, 0) 连续且偏导数存在，但偏导数在点(0, 0) 不连续，而f 在点(0, 0) 可微. 【答案】因此f 在点(0, 0) 连续.
当
时
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所
以
当时
但由于因此当
时
在点(0, 0) 不连续，然而
而不存在(可考察y=x情况) ，
的极限不存在，
从而
在点(0, 0) 不连续.
同理可证
所以，在点可微且
3． 设a 为有理数，x 为无理数. 证明：
(1) a+x是无理数；(2) 当盾. 故a+x是无理数.
(2) 用反证法. 假设ax 是有理数. 因为a 是不等于零的有理数，所以无理数矛盾. 故ax 是无理数.
是有理数. 这与x 是
时，ax 是无理数.
也是有理数. 这与x 是无理数矛
【答案】(1) 用反证法. 假设a+x是有理数，那么
二、解答题
4． 若
【答案】
求
..
的最大最小值.
问对于
之差分别是多少？
5． 设
令求驻点：
【答案】(1) 先考查内部情形，利用求条件极值的拉格朗日乘数法
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显然要有
或
当
时，由
此时无解；
当
时，由
在驻点处的值：
虽然
是不定矩阵，但不能否定内部达极值.
注：矩阵HL 正定、负定只是条件极值的充分条件，而非取到条件极值的必要条件. (2) 再讨论边界上的几种情况： 1)
2)
3)
(3) 综合以上所得，最小值为1.
6． 据理说明：在点(0, 1) 近旁是否存在连续可微
的
且
【答案】设
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在
上的最大值为
和
满
足