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一、证明题

1． 设

【答案】要证即只要证因

故

证明只要证

即证

因此只要证由由这表明

知,

即只要证知,

单调增加, 假如因此

；

有上界, 则矛盾.

. 证明f 在（a , b）内能取到最小值.

. 因为

, 取

, 则存在

,

必有极限a ,

单调增加、没有上界, 因此

2． 设函数f 在（a , b ）上连续, 且

【答案】在（a , b ）内任取一点使得

同理, 存在

时有

①

, 使得当

时, 有

②

由f 在（a , b ）上连续可知, f 在区间由闭区间连续函数的最值定理知, f 在对一切

都有

③

由式①, ②, ③知, f 在

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上连续,

上有最小值点, 即存在

,

内能取得最小值.

3． 证明:若函数列在[a, b]上满足定理的条件, 则

在[a, b]上一致收敛.

一致收敛, 不妨

设

【答案】由题

设设由

为

的收敛点, 则对任意的满足定理的条件可知

有

连续

且

故从而

由为

的收敛点可知, 对任意

存在N 1, 使得当存在N 2, 使得当

从而当所以

时,

有

在[a, b]上一致收敛.

上有界, 则f 在R 上有界.

有

对于任意

即

故

在R 上有界.

, 必存在惟一整数

时, 总有时, 对任意

有

在[a, b]上一致收敛于g （t ）, 故对上述的

4． 设f 为定义在R 上以h 为周期的函数, a 为实数. 证明:若f 在

【答案】因为k , 使得

在于是

上有界, 所以存在

使得对任意

正数h 的所有整数倍从小到大依次为:由于h 是f 的周期, 因而

5． 设f 为连续函数, 证明:

（1）（2）

【答案】（1）从所要证明等式的被积函数来看, 应作代换（2）令由此得

, 则dx=—dt , 从而

’则dx=-dt, 于是有

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6． 设f 为可导函数, 证明:

若x=1时有

【答案】由复合函数求导法则

, 有

, 则必有或

.

由题设x=1

时即

故

, 得

或

.

二、解答题

7． 试将

【答案】设又

按

的幂展开成幂级数. 则

, 故

所以

由

即

可得x>0, 所以

8． 设

（1）H 能否覆盖（0, 1）?

（2）能否从H 中选出有限个开区间覆盖（i ）【答案】（1

）

有

>有

. 令

, 于是

的子集

.

? , 所以

,

. 即

. 问

. 故H 能覆盖（0

, 1）.

（2）设从H 中选出m 个开区间, 它们是则并实际上

从H 中选出98个开区间

的下确界为

. 故不能从H 中选出有限个开区间来覆盖

因为

.

所以这些开区间覆盖了

故可以从H 中选出有限个开区间覆盖

9． 设S 为非空数集. 试对下列概念给出定义:

（1）S 无上界; （2）S 无界.

【答案】（1）设S 为非空数集, 若对任意的正数M , 总存在上界.

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使得则称数集S 无