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一、证明题

1． 设

证明:【答案】因

即可.

设即所以故

2． 证明:若L 为平面上封闭曲线, l 为任意方向向量, 则方向.

【答案】令（n , x ）, （l , n ）, （l , x ）分别表示外法线与x 轴正向, l 与外法线n 以及l 与x 轴正向的夹角, 则有:

由于 3． 设

b]上绝对且一致收敛.

【答案】因为又由

与

是[a, b]上的单调函数, 故对任意

均绝对收敛, 得

收敛, 从而

在[a, b]上一致

收敛, 即在[a, b]上绝对且一致收敛.

4． 证明:闭区间的全体聚点的集合是

【答案】设:设

, 不妨设

的全体聚点的集合是M.

则

中有无穷多个实数, 故a 是

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在有界闭区域D 内有二阶连续的偏导数, 有的最大值、最小值只能在区域的边界上取得. 在界闭区域D 上连续, 故由连续函数的最值性知

在D 上一定可取得

处

最大值和最小值, 下证在D 的内部不能取得极值, 这里只需证明在D 内任何点

. 对D 内任何点（x , y ）, 由于

而

故

不可能在D 内部取得极值, 的最大值和最小值只能在D 的边界上取得.

其中n 为曲线L 的外法线

则由格林公式

与为常数, 且

是[a, b]上的单调函数, 证明:若

与都绝对收敛, 则在[a,

本身.

由实数集的稠密性知,

集合的一个聚点. 同理, b 也是

的一个聚点.

设

, 不妨设

则

故的任意邻域内都含有设.

故综上所述,

5． 证明:

（1）若F 1, F 2为闭集, 则（2）若E 1, E 2为开集, 则（3）若F 为闭集, E 为开集, 则【答案】（1）设P 为于是也有

为闭集

.

故同理可证（2）设设使得

即为开集,

则有'

且为闭集. 也为闭集.

有

由于

或从而有使得

因此, 存在点B 的邻域所以

为开集.

c

c

中的无穷多个点, 故为

,

则

的一个聚点. 总之

.

即不是本身.

的聚点,

即

,

令

, 即闭区间

的全体聚点的集合是

与与

都为闭集； 都为开集； 为闭集

为开集.

的聚点, 存在一个各点互不相同的收敛于P 的点列

中的无限多项, 不妨设

从而P 为F 1的聚点

.

因而F 1和F 2至少有一个集合含有

不妨设 , 因此

为开集.

则存在点A 的某邻域U （A ）使得

也存在点B 的某邻域

其中

为开集, 则存在点B 的某邻

使得

（3）若F 为闭集, E 为开集, F 为开集, E 为闭集. 又从而由（1）、（2）知

为闭集

为开集.

, ,

二、解答题

6． 设f （x ）在R 上二次可微, 且

（1）写出（2）求证:对（3）求证:【答案】（1）

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. 有

关于h 的带拉格朗日余项的泰勒公式;

, 有

;

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（2）将第（1）小题得到的两个泰勒公式相减, 得

由此, 利用条件

, 即得

（3）设

, 则有

其中等号当

时,

即当

时成立. 将此h 值代入（1）式, 即得

7． 设

【答案】对方程组

关于x 求导得

解之得

8． 设

求极限

试求

【答案】因为

且

时,

所以当

当时,

第 4 页，共

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