2018年中北大学理学院601数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 求证:
（1）（2）序列【答案】（1）令
是最小值点
（2）显然序列
调递增, 为了证明极限
, 则有
存在, 只要肯定序列
有上界即可.
;
的极限存在.
, 且
为此利用第（1）小题, 有
2． 设
【答案】记
则
试证:当x ≥0时,
,
显然
在x ≥0,
上
连续, 所以可在积分号下求导, 即
令
则
又
所以
, 证明存在内可导,
, 故由柯西中值定理, 存在
. 使得, 则
在, 于是当, 使得
4． 证明:若二元函数f 在点上连续.
【答案】由内成立, 由于
第 2 页，共 30 页
故
, 因此, 当x ≥0时, . 上连续,
时, , 即
与
从f
（x ） +g （x ） =C （C 为常数）,
当x=0时,
3． 设
【答案】令在又有
不同时为零.
的某邻域U （P ）内的偏导函数与有界, 则f 在U （P ）
存在M>0, 使
在
1
在U （P ）内有界, 设此邻域为
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其中
所以对任意的正数, 存在
故f 在U
（P ）内连续.
当
时,
有
二、解答题
5． 将
【答案】令
按
的幂展开成幂级数. , 则
因此
因为当-1 即得 6． 求下列均匀密度的平面薄板质心:（1）半椭圆 的等腰梯形 . 【答案】（1）设质心位置在 , 由对称性 , （2）设等腰梯形在直角坐标中位置如图, 其质心位置为 图 其中 . , 由对称性 , （2）高为h , 底分别为 a 和 b , 亦即x>0. 第 3 页，共 30 页 专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！ 7 ． 设a>0, 求曲线 【答案】设数为 上的点到xy 平面的最大与最小距离. 为曲线上任一点, 易知z>0, P 到xy 平面的距离 d=z, 构造拉格朗日函 对L 求偏导并令它们都等于0得 解之得 或 因此〔 值点在其中取得. 由于d=z 在有界闭集 上存在最大值与最小值, 因此 ）与（ ）是 的稳定点, 且所求的条件极 与时z=a就是所求曲线上的点到xy 平面的最小与最大距离. 8． 计算积分 【答案】积分区域D 是由 及y=2所围成（如图所示）: 图 交换累次积分的顺序, 有 第 4 页，共 30 页
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