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一、证明题

1． 证明

【答案】对任意的数

在

由不等式则当

得时, 有

限制时

, , 即

故. 当

时, 函

其

中取

上是严格减函数.

于是当

二、解答题

2． 设

【答案】

∴又

3． 分别用梯形法和抛物线法近似计算

【答案】（1）梯形法（取n=10）

（2）抛物线法（取n=10）

4． 求下列函数的周期:

（1）

（2）

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试验证并求

（将积分区间十等分）.

（3）

【答案】（1）（2）由（3）

的周期

的周期是

. 故

的周期是

的周期是可知, 的周期

的周期的周期是

4和6的最小公倍数是12, 故

5．

设

试讨论它在（0, 0）点处的连续性. 【答案】设

则

所以

当

, 即

时,

因此

故当

在点（0, 0）处连续

. 时

,

因而综上所述,

6． 把函数

时,

可见

时,

在点（0, 0）处不连续.

时

在点（0, 0）处不连续.

在点（0, 0）处连续；而

在（0, 1）上展开成余弦级数,

并推出

【答案】将f （x ）作周期为2的偶延拓,

得一连续的延拓函数

.

由收敛定理, 在（0, 1

）内

当x=0时, 因延拓函数连续, 故上式右端收敛到f （0）,

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即

7． 求

【答案】方法一令

通过计算易知, =-1.注意到

于是有

由此可见, f （x , y）在全平面上无最大值. 而另一方面, :即f （x

, y）在有界闭域

:方法二:先固定x , 求显然

于是

故

又由

方法三 用配方法.

且f （1, 0） =-1即最小值为-1, 无最大值.

8． 利用函数

求解:

‘可知f （x , y ）在R 上无最大值.

2

在全平面上的最大最小值.

,

, 可得驻点（

1, 0）.

, 所以（1, 0）为极小点, 极小值为f （1

, 0）

, 当或时

上的最小值-1必是

f （x ,

y ）在全平面上的最小值.

. 将f （x , y ）改写为:

（1）某系各班级推选学生代表, 每5人推选1名代表, 余额满3人可增选1名. 写出可推选代表y 与班级学生数x 之间的函数关系（假设每班学生数为30〜50人）;

（2）正数x 经四舍五入后得整数y , 写出y 与x 之间的函数关系. 【答案】 （1）（2）

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