当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 叙述并证明二元连续函数的局部保号性.

局部保号性:若函数域

内与【答案】设续, 所以存在

从而当当

时,

在点

连续, 而且

. 则函数使得对任意

取

时

任取

使得在其上

即

2． 证明:

（1）可导的偶函数, 其导函数为奇函数； （2）可导的奇函数, 其导函数为偶函数； （3）可导的周期函数, 其导函数仍为周期函数. 【答案】（1）设f （x ）为偶函数, 则对任意

, 有

. 设

故

是奇函数.

, 有

. 设

, 则

故

是偶函数.

第 2 页，共 31 页

在点的某一邻

同号, 并存在某个正数

则存在r , 使使得当

时, 有

因为在点处连

由上可知存在

可见

在上与同号且

则

（2）设f （x ）为奇函数, 则对任意

（3）设f （x ）是以T 为周期的周期函数. 对任意

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

故

也是以T

为周期的周期函数.

3． f （x ）在R 上二次可导, 证明: f（x ）在R 上恰有两个零点.

【答案】先证当因为

所以, 当x 的绝对值足够的大的时候, 不妨设当当同理, 当由又由于

时,

时, 的时候, 可知

先单调减少, 再单调递增.

在

各有一个零点.

的时候,

为递增函数。所以

根据连续函数的零点存在定理知,

4． 设x=x（y , z

）, y=y（

z , x ）, z=z（x , y ）为由方程F （x , y ,

z ） =0所确定的隐函数. 证明:

.

【答案】由隐函数定理知

所以得

二、解答题

5． 判断积分

【答案】对

有

再由

第 3 页，共 31 页

的敛散性.

收敛, 可得收敛.

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

6． 在已知周长为2p 的一切三角形中，求出面积为最大的三角形.

z , 则面积【答案】设三角形的三边分别为x , y ，此

其中因S

与

有相同的稳定点，考虑

解方程组

得

从而

又在D 的边界上的等边三角形, 面积

其中S 为曲面

从而S 在

被平面Z=1所截部分的外侧. 方向向上. 有

而

从而,

8． 按一致连续的定义论证:

（1）

在

上一致连续; 上一致连续. 取时, 有

时, 不妨设

上一致连续.

.

取

, 当

时, （不妨设

第 4 页，共 31 页

，且因

处取得最大值, 因而

面积最大的三角形为边长为

7． 计算

【答案】补充平面

（2）lnx 在【答案】（1）

当当在

（2）运用不等式:

, 当时, 分两种情形讨论

.

. 则有所以

）, 有