2018年郑州大学联合培养单位周口师范学院655数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:函数
（a 、b 为常数）满足热传导方程:
【答案】因为
所以
2． 设f （X ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内有二阶导数, 且
求证:
（1）函数f （x ）在（0, 1）内恰有两个零点; （2）至少存在一点
, 使得
（见图）:
【答案】（1）函数f （x ）在[0, 1]上有惟一的最小值点
图
显然
, 否则
, 这与
矛盾. 又因为
否则由凹函数的最大值在端点达到, 导致于是有所以导致（2
）令
又根据第（1）小题,
, 使得
有一个零点, 这f" （X ）>0矛盾
,
注意到由
推出
, 所以 , 使得
, 这又与
. 又因为f （x ）在[0, 1]上连续,
矛盾.
如果f （x ）在（0, 1）内有三个零点, 由罗尔定理, 函数在（0, 1）内有两个零点,
»
于是
故有
即
3． 设f 为定义在区间U , b）
内的任一函数, 记
内一致收敛于f
【答案】
因为
故对任意从而 4． 设
【答案】因使得当令
收敛, 且在
且
在
上一致连续, 证明
取
, 当n>N时, 对任意
, 均有
在（a , b ）内一致收敛于f
证明函数列
在（a , b）
. 再由F （x ）的连续性, 存在
, 使得
. 即
.
上一致连续, 故对于
时, 有
则由积分第一中值定理得,
使得
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因也即取
收敛, 故级数故对上述的则当
收敛,
从而存在
使得当
即
时,
.
时, 因
故存在惟一的, 使得.
易见, 且
从而
二、解答题
5． 在下列积分中引入新变量u , v 后, 试将它化为累次积分:
（1）（2
）（
3）
【答案】（1）由
若其中
其中
得
, , 若
则
, 若
.
D 与如图1, 图2.
图1
h
图2
于是