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一、计算题

1． 试求不定积分

进而求出不定积分【答案】

其中

为任意常数

. 可得

可得

2． 设

【答案】

3． 求由下列曲面所围立体V 的体积:（1） V 是由

（2） V 是由曲面

和

所围的立体.

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与

①

②

, 试按h , k , 1的正数幕展开

和z=x+y所围的立体;

【答案】（1）由故体积

和z=x+y得. , 因此积分区域

这里应用变换（2）由立体的顶面为

, 得

. 所以立体V 在xOy 平面上的投影为D :底面为

. 则体积

令

得

且

, 所以

4． 已知抛物叶形线

（1）M 的面积; （2）M 的周长;

（3）M 绕x 轴旋转所得旋转体的体积（4）M 绕x 轴旋转所得旋转体的侧面积（5）M 的重心

.

, :

, 如图所示, 其中当

时的叶形部分记作M. 求

.

图

【答案】（1）由对称性, 只要求出

与x 轴所围成的面积, 两倍即得结果, 即

（2）

由此即得

（3）（4）

.

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（5）由对称性, ,

二、证明题

5． 设函数

在

上连续且恒大于零, 按

在

当

时, 有

在点处连续. 当改为综上可知,

6． 设函数f 在连续. 且有

若若综上, 存在

, 则

, 使得, 则取

或

, 即有

.

使得

, 即

. 由根的存在性定理知, 存在

.

在

（或

）时, 只需将上面

（或上连续.

. 证明:存在点. 由f （x ）在

, 使得上连续可知F （x ）在

. 上也

）即可.

定义证明:

在在

上连续.

上有最小

值

【答案】因

为

上连续, 所

以

上连续, 且

【答案】作辅助函数

7． 证明:若f 与g 都在[a, b]上可积, 且g （x ）在[a, b]上不变号, M 、m 分别为f （x ）在[a, b]上的上、

下确界, 则必存在某实数【答案】

设

,

, 由定积分的不等式性质, 得

若

, 则由上式知

, 从而对任何实数

均有

,

,

使得

.

因

,

, 所以

有

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