2016年杭州师范大学理学院高等数学复试考研复试题库
● 摘要
一、计算题
1． 落在平静水面上的石头，产生同心波纹。若最外一圈波半径的增大率总是6m/s，问在2s 末扰动水面面积的增大率为多少?
2
【答案】设最外一圈波的半径为r=r（t ）。圆的面积S=S（t ）。在S=πr 两端分别对t 求导，
得
当t=2时，
代入上式得
2． 设曲线积分条平面曲线，求：
（1）可微函数（2）求沿L 从原点
。已知到点
的曲线积分。
。
，其中L 为任意一
【答案】（1）由于任意平面闭曲线的曲线积分都有，即曲线与积分路径无关。
，即
则等式两边x 的系数及不含x 的项应该相等，即
在①式两边对y 求导，并将②代入得
又
又由①式得，（2）由于
，则方程③的特解为
。
，故曲线积分与路径无关，取点
，沿折线
积分得
。
3． 求，其中。
【答案】
4． 分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线
的柱面方程.
【答案】在过已知曲线的柱面方程.
在
曲线的柱面方程.
5． 求锥面
【答案】在
中消去x ，得，即为母线平行于x 轴且通
中消去y ，得，即为母线平行于y 轴且通过已知
与柱面所围立体在三个坐标面上的投影.
，即
，故立体在
中消去z ，得
xOy 面上的投影为
而该立体在zOx 面上的投
影为
（如图所示）.
，在yOz 面上的投
影为
（如图所示）
.
图
6． 计算抛物线y>0，故有
从顶点到这曲线上的一点M （x , y ）的弧长。
【答案】不妨设p>0，由于顶点到（x , y ）的弧长与顶点到（x , -y ）的弧长相等，因此不妨设
二、证明题
7． 设
【答案】
，而
为可导函数，证明:
故
等式成立。
8． 试证明:如果函数
【答案】由当增加
当减少。
因此,
只要条件内无极值。
成立,
所给函数在
内单调,
故函数在
,
的图像开口向下, 且在x 轴下方, 故
, 从而所给函数在
内单调
,
知
,
是二次三项式,
的图像开口向上, 且在x 轴上方, 故
, 从而所给函数在
内单调
满足条件
, 那么这函数没有极值。
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