2016年复旦大学信息科学与工程学院、基础医学院高等数学(同等学力加试)考研复试题库
● 摘要
一、计算题
1． 当x →0时
，
【答案】
与ax 为等价无穷小，求n 与a 的值。
n
，
∴n=2，且由
2． 利用递推公式计算反常积分
【答案】当n ≥1时，故有
，故a=7。
。
3． 分别按下列条件求平面方程：
； （l ）平行于xOz 面且经过点（2，﹣5，3）； （2）通过z 轴和点（﹣3，1，﹣2）
（3）平行于x 轴且经过两点（4，0，﹣2）和（5，1，7）.
【答案】（l ）所求平面平行于xOz 面，故设所求平面方程为By ＋D=0.将点（2，﹣5，3）代入，得﹣5B ＋D =0，即D=5B.因此，所求平面方程为By ＋5B=0，即y ＋5=0.
（2）所求平面过z 轴，故设所求平面方程为Ax ＋By=0.将点（﹣3，1，﹣2）代入，得﹣3A ＋B=0，即B=3A.因此，所求平面方程为Ax ＋3Ay=0，即x ＋3y=0.
（3）所求平面平行于x 轴，故设所求平面方程为By ＋Cz ＋D=0.将点（4，0，﹣2）及（5，1，7）分别代入方程得﹣2C ＋D=0及B ＋7C ＋D=0.解得
因此，所求平面方程为
即
9y －z －2=0
4． 求圆盘绕y 轴旋转而成的旋转体的体积。
绕y 轴旋转所得
绕y 轴旋转所得的立体，因此
【答案】这是一个圆环面，可以看作由图形的立体减去由图形
5． xOy 坐标面上的双曲线的方程.
【答案】以
周而生成的旋转曲面方程为
代替双曲线方程
分别绕x 轴及y 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面
中的y ，得该双曲线绕x 轴旋转一
即
以
的旋转曲面方程为
即
6． 求方程
的近似根, 使误差不超过0.01。
在[l, 3]上连续, 且,
使
, 即方程
,
在区间（1, 3）内至少有一
代替双曲线方程
中的x ，得该双曲线绕y 轴旋转一周而生成
【答案】设函数
由零点定理知至少存在一点实根。又方程
, 即
, 故函数f （x ）在[1, 3]上单调增加, 从而在（l , 3）内有惟一的实根。
在（1, 3）内至多有一个实根, 因此方程现用二分法求这个根的近似值:
故误差不超过0.01的根的近似值为
二、证明题
7． 设u=f（x ，y ）的所有二阶偏导数连续，而
证明
【答案】因为
所以
又因为
所以