2016年复旦大学基础医学院高等数学(同等学力加试)考研复试题库
● 摘要
一、计算题
1． 试问a 为何值时,
函数并求此极值。
【答案】故a=2
又因此
2． 设螺旋形弹簧一圈的方程为
，求：
（1）它关于z 轴的转动惯量I z ； （2）它的质心。 【答案】（1）
,
为极大值。
，其中
，它的线密度
, 函数在
处取得极值, 则
=0, 即
,
处取得极值? 它是极大值还是极小值?
（2）设质心位置为
。
由于
因此
同理
3． 要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小.
【答案】设水池的长为a ，宽为b ，高为c ，则水池的表面积为
约束条件作拉格郎日函数
。
。由
解得
是唯一可能的极值点，由问题本身可知A 一定有最小值，所以表面积
最小的水池的长和宽都应为
4． 求下列向量场A 的旋度
，高为。
【答案】
5． 求图中各画斜线部分的面积：
【答案】（1）解方程组得到交点坐标为（0, 0）和（1, 1）。
如果取x 为积分变量，则z 的变化范围为[0, 1]，相应于[0, 1]上任一小区间[x，x+dx]的窄条面积近似于高为
、底为dx 的窄矩形的面积，因此有
如果取y 为积分变量，则y 的变化范围为[0, 1]，相应于[0, 1]上任一小区间[y，y+dy]的窄条面
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