2016年东北师范大学生命科学学院高等数学(跨学科加试)考研复试题库
● 摘要
一、计算题
1． 画出下列曲线在第一卦限内的图形：
【答案】（1）如图1所示；（2）如图2所示；（3）如图3所示
图1 图2 图3
2． 计算二重积分
【答案】根据对称性可知
，其中
=0，所以有
3． 求向量
面流向外侧的通量。
【答案】通量
通过闭区域
的边界曲
.
4． 求曲线
在点
处的切线方程和法线方程。
，在曲线方程两端分别对x
【答案】由导数的几何意义知，所求切线的斜率为
求导，得，从而
，
，
于是所求的切线方程为即法线方程为即x-y=0
5． 求曲线y=ex 在点（0，1）处的切线方程。
【答案】
6． 已知函数
【
答
，即x-y+1=0。 故曲线在（0，1）处的切线方程为y-1=1·（x-0）
，试求
案
.
】
二、证明题
7． 设
【答案】取函数（0）=0,
,
由罗尔定理知至少存在一点在（0, l ）内至少有一个零点。
8． 证明方程
【答案】设由零点定理，即知
，使
至少有一个根介于1和2之间。
则f （x ）在闭区间[1, 2]上连续，且
即为方程的根。
，
,
使
,
即多项式
, 证明多项式
在
内至少有一个零点。
, F （x ）在[0, l]上连续, 在（0, l ）内可导且F
一、计算题
1． 落在平静水面上的石头，产生同心波纹。若最外一圈波半径的增大率总是6m/s，问在2s 末扰动水面面积的增大率为多少?
2
【答案】设最外一圈波的半径为r=r（t ）。圆的面积S=S（t ）。在S=πr 两端分别对t 求导，
得
当t=2时，
代入上式得
2． 下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数
?
【答案】（1）为偶数。 （2
）
，因
为
，所以f （x ）既非偶函数又非奇函数。
（3）（4）（5）
因为
，因为
，所以f （x ）为奇函数。
，因为
且
所以f （x ）既非偶函数又非奇函数。 （6）
，因为
，所以f （x ）为偶函数。
所以f （x ）为偶函数。
且
，因为
，所以f （x ）
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