2018年中国传媒大学理学院726数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 求下列不定积分:
（1）（3）
【答案】（1）原积分
（2）原积分
（3）原积分
2． 求两椭圆
与
所围公共部分的面积.
解得两曲线在第一象限内的交点坐标为
,
【答案】如图所示, 这两个椭圆是全等的, 故所求面积是阴影部分面积的8倍. 由方程组
于是, 所围公共部分的面积为
（2）
.
图
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3． 对幂级数域上的一致收敛性.
【答案】（1）记
, （1）求其收敛域; （2
）求其和函数; （3）讨论幂级数在收敛
因为
所以当
级数
发散, 所以原级数的收敛域为（﹣1, 1）. （
2）
（3）取
, 则
于是
在（﹣1, 1）内不一致收敛于0, 故该幂级数在收敛域内不一致收敛.
4． 设函数
求: （1） （2） 【答案】 （1）（2）
即
时级数收敛, 当
. 时级数发散,
故级数的收敛半径R=1, 当
x=±1时
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5． 求a , b 的值, 使椭圆
【答案】设
, 的周长等于正弦曲线
. 椭圆周长
在上一段的长.
, 则椭圆的半焦距
正弦曲线在
上一段的弧长
令
,
6． 设曲线
【答案】将
由方程组
代入到方程组
:确定, 求曲线在
得
处的切线方程与法线方程.
, .
,
则
,
.
若
,
则
,
若
则
解得
进一步, 将方程组
中各方程两边分别求微分, 得
将
代入该方程组, 得
解得
.
所以
所以切线方程为:
, 法线方程为:
二、证明题
7． 证明不等式.
【答案】由于在恒大于0, 令显然在上连续.