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一、证明题

1． 设X 与Y 是R n 中两个不同的量

【答案】假设即

从而有

产生矛盾, 于是

2． 设f （x ）在区间上有界, 记

, 因为, 即M-m

是

对

, 由

知

, 使得

. 同理

证明:

【答案】对从而

的一个上界.

, 使得

, 所以

’所以有

,

, 则存在

证明|

综上所述:

3． 设函数f 在区间I 上满足利普希茨（Lipschitz ）条件, 即存在常数L>0, 使得对I

上任意两点

都有

证明:f 在I 上一致连续. 【答案】对任给的故f 在I 上一致连续.

4． 利用级数收敛性, 证明序列

当

时极限存在.

则级数

的部分和为x n , 所以证

存在归结

取

, 则当

且

时, 有

【答案】令为证级数收敛. 因

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由于若记

, 推出级数, 则

丨.

5．

设f 为连续函数

, u 、v

均为可导函数,

且可实行复合

与

证明:

【答案】取f （x ）定义域内一点a , 则则

,

且

于是

6． 设正项级数

【答案】

收敛. 证明:级数

收敛, 则

令

则

, 级数

的部分和为

从而级数

7． 设

【答案】因知

收敛.

且

收敛. 有界，证明

收敛.

从而

又

收敛，由比较原则

也收敛, 其中

.

令

,

收敛, 也就是

存在, c 称为欧拉常数,

有界，故存在M>0, 使

二、解答题

8． 求方程

【答案】设格递增. 由于

的根的近似值, 精确到

因为

.

所以f （x ）在

. 所以实根在区间

上严

内.

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在此区间上,

现估计近似根的误差. 而求, 继续迭代

.

在

上的最小值为,

故

于是取

,

不满足精度要

由于已经精确到

, 故取近似根

, 所以

9． 利用归结原则计算下列极限:

（1）

【答案】（1）令

（2）, 则有

由归结原则, 得

（2）令

, 则

由归结原则, 得

10．设函数f （x ）在区间（a , b ）内连续, 函数条件下, 方程

并研宄例子: （1）【答案】设若（i ）设

即存在点

.

由于

显然F （X , y ）在上连续

.

, 满足

就可在附近确定隐函数

都在R 上连续, 且

能确定函数

在区间（c , d ）内连续, 而问在怎样的