2018年郑州大学联合培养单位河南工程学院655数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1．
在[a, b]上有定义且在每一点有极限, 证明:【答案】反证法.
若
依次取
由的选取方法有
这与
2． 设
在
处存在极限矛盾. 故
在
上有界.
的确界.
.
令
,
则当
则得到数列
记
在
上有界.
使得
在[a, b]上无上界, 则对任意正整数n ,
存在
由致密性定理知, 存在收敛子列
为单调数列. 证明:若,
则
存在聚点, 则必是惟一的, 且为
中含有无穷多个中只能含有即任给
【答案】
设时
,
假设,
使综上, 若
3． 证明:若致地成立, 即对任意
【答案】先证由于
.
是一个单调递增数列.
假设,
于是
是它的两个不相等的聚点,
不妨设
中的点,
设
中有穷多个点, 这与是聚点矛盾. 因此, 若
0, 按聚点的定义
,
存在聚点, 则必是惟一的.
无界,
则
存在正整数N , 当n>N时,
有界. 对任给的
, 的确界.
对任何对一切
收敛.
在
时一致收敛,
因此任给
一致收敛于
,
都有
从而
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, 于是小于M 的只有, 由聚点定义,
必存在
有限项, 因此不可能存在聚点, 这与已知题设矛盾,
故
按上确界定义知有聚点, 必惟一, 恰为
在
时一致收敛于F （x ）. 且一
成立, 则有
存在M>0, 当x>M时,
存在N ,
对一切
,
和一切,
都有
又由于f （x , t ）对任何因此对
, 存在X , 对一切x>X和
即再证
收敛.
考虑
由一致收敛于F （x ）知, 任绐存在N 1, 对一切A> N1和一切
有
由由从而有
收敛, 对上述
取
存在N 2, 对一切A> N2, 有
, 对
, 存在X , 对一切x>X和t , 有
综合上述, 对任给的存在x , 对一切x>X, 有
4． 设f （x ）在区间上有界, 记
, 因为, 即M-m
是
对
, 由
知
, 使得
证明:
’所以有
的一个上界.
. 同理
, 使得
, 所以
,
【答案】对从而
综上所述:
二、解答题
5． 确定下列初等函数的存在域:
（1）（3）【答案】（1）（2）由（3）故（4）
得
故
的存在域为的存在域为的存在域为
由
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（2）（4）
的存在域为R.
的存在域为由
得
得
故
6． 以
的存在域为
分别表示各双曲函数的反函数. 试求下列函数的导数:
. 由
得
.
,
当
,
, 于是
时
,
,
由
,
得
. 于是
得
，
【答案】（1）把上式中的x 替换为
（2）（3）（4
）故
（5）
（6）由（1）得,
7． 判别下列广义积分的收敛性:
（1）
（2）
, 有
, 即
【答案】（1）方法一因为便知积分
收敛
方法二当
时
,
, 而
, 所以对N=1,
,
即广义积分（2）因为
8． 分别用梯形法和抛物线法近似计算
【答案】（1）梯形法（取n=10）
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收敛, 从而收敛, 即得收敛.
收敛.
, 所以由第（1）小题知广义积分
（将积分区间十等分）.