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一、证明题

1． 证明下列各式

（1）（2）（3）（4）

【答案】（1）令（2）设

代入原方程有:

（3）令（4）令

则则

,

因此

因此

2． 设

【答案】（1）当

时, 由于

此即

（2）当

时, 由于

用

语言证明:

, 当

时, 有

则

, 则

,

因此

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令而

3． 设函数f 在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可导,

且

【答案】因为

因而取

存在

, 使得

4． 设故只需考虑

故若当故若进而

证明数列

与级数

收敛, 必有时, 有

收敛必有

与

与级数

司的关系

. 因为

收敛；若同时发散；当

收敛, 即有

收敛；若

发散, 则有

发散,

发散. 所以原数列与原级数同时收敛或同时发散.

发散, 必有

时

发散.

同时收敛或同时发散

.

的敛散性相同,

, 则函数

F 和G 在[a, b]上满足柯西中值定理的条件. 于是

则

存在

当

时, 有

证明:存在

, 使得

【答案】注意到数列的敛散性与正项级数

二、解答题

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5． 求

【答案】由于

.

所以

由原函数的连续性, 若记,

则. 故

6． 求极限:

其中

【答案】由极限的运算性质知

7． 设f （x ）在

【答案】由条件得

即 8． 己知

【答案】因为

上连续, 且满足条件. 求证:f （x ）为一常数.

.

其中

在点x=a的某邻域内连续, 求. , 则

.