2017年中国传媒大学理学院819高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知因此 2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
3． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
使AB=0, 则（ ）
.
所以A 的特征值为3，3，0；而
线性相关，所以线性相关，故选A.
于是
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
则
线性无关，
均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
则A 与B （ ）.
【答案】C 【解析】若当C.
4． 设
又
则（ ）•
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
即
5． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
时，
为空间的两组基，且
由②有
分别为A ，B 的伴随矩阵，
即
二、分析计算题
6． 证明：如果
【答案】
设
那么
，
于是考虑多项式f （y ）
因此
，
，
即能整除f （y ）
7． 设矩阵A 的伴随矩阵
且【答案】用
其中E 是4阶单位矩阵，求矩阵B 。 左乘同时用A 右乘等式
又因为
得
再由已知A*，可得
即所以可逆，从而由①式可解得
8． 证明：一个向量组的任何一个线性无关组都可扩充成一个极大线性无关组.
【答案】设向量组为（1）（2）就是
（3）
则但是
它的一个线性无关部分组不妨设为
自身就是它的极大线性无关组. 中任何向量加入中有向量，不妨设为
使得
后成为线性相关向量组，则
仍是线性无关的.
再从
时属于情形（1）或情形（2）.
这时
的极大无关组.
这个线性无关组出发，若还是属于第（3）种情形，则还可再扩大. 但8是有限数，
不能无限扩大.
必然在扩充到某个无关组
就是所要的极大线性无关组.
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