2017年东北大学矩阵分析之高等代数复试实战预测五套卷
● 摘要
一、分析计算题
1． 证明：非零实二次型f 可分解成两个实系数一次齐式相乘差是0.
【答案】设若
成比例，设
则可对f 施行以下满秩线性代换
的秩是1或f 的秩是2且符号
化成若
由于
故因此，此时f 的秩是1.
不成比例，
不妨设
与
不成比例，从而
则
此时可对f 连续施行以下两个满秩线性代换
得故此时f 的秩为2且符号差为0.
由于
的线性组合，故可知f 可分解为两个实系数一次齐式相乘.
反之，若f 的秩为1，则f 可通过实满秩线性代换X=PY
化为正规形
若f 的秩为2且符号差为0，则f 可通过实满秩线性代换X=CY化为
但由之积.
2． 设
知，
都是
的线性组合，从而可知f 是
的两个一次齐式
为n 阶正定矩阵. 证明：
①以下二次型是负定的：
②是A 的n-1阶顺序主子式）且等号成立
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【答案】①令
，则
两边取行列式，得
对二次型f 施行满秩线性代换X=AY，得
但A 是正定的，②由于
等于
从而
正定而
即f 是负定的.
（5）
其中的，因此
为上面第一个行列式. 由于A 正定，故
也正定. 因此由①知，f 是负定
故由（5）得
再由（5）知：当且仅当式成立.
③用
即
时（因为f 负定）以上等
依次表示A 的1，2，…，n-1阶顺序主子式，则由A 正定，
故
均正定. 从而由②得
并由②知，当且仅当
即A 为对角矩阵时以上等号成立.
3． 证明：以下两个变换都是的线性变换：
再求T+S, TS与ST.
【答案】T , S都是的变换显然. 再由于
故T 是
的一个线性变换.
的一个线性变换.
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同理可验证S 也是
4． 设A 是秩为r 的n 阶方阵. C ，使得A=CB，而且BC=E.
【答案】先证充分性. 设A=CB, 其中C , B分别为再证必要性
.
和
矩阵，且BC=Er.则
的充要条件是存在秩为r 的
矩阵B 和秩为r 的
矩阵
可对角化，且其特征值只能是0和1. 于是存在可逆阵T ，使
其中
那么C 是
矩阵，B 是
矩阵，且
5． 用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并用矩阵验算所得结果.
（1）（2）（3）（4）
其中
【答案】（1）作可逆线性替换
原二次型经此线性替换化为标准形
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