2017年北京邮电大学数学分析、高等代数、概率论综合考试之高等代数复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 已知线性变换T 在基
下的矩阵为
求它在基
下的矩阵. 【答案】设T 在基. 下的矩阵为A ，再设基
到基
过渡矩阵为
则
由①式有
解之得
类似可求出其它
从而可求得
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的
故
． （1）设
且求
（2）求正变阵T , 使T 下合同于对角阵.
令
问
是什么曲面？ 【答案】⑴令则
再用
除
（带余除法）得
由哈密尔顿-凯莱定理及①式有
再求即得
（2）计算可得所以
当时，得线性无关特征向量
当
时，得特征向量
由于它们已经正交，只需将其单位化可得
再则T 为正交阵，且
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2
再作正交变称它表示单叶双曲面.
3． 计算以下
其中则由有
阶行列式
【答案】解法I 各列都加到第一列，再按第一列展开，得
解法II 将第一列加到第二列，再将第二列加到第三列，得主对角线上元素为
的一个下三角形行列式. 因此
4． 设A ，B 为n 阶方阵. 证明：
①
②
又由
于
是关于x 的首系数为1的n 次多项式，
故
有相同的特征多项式，即
这是关于x 的一个恒等式，故当x=0时也相等. 即
两边取行列式，并由拉普拉斯定理得
同理有
故
由（7），（8）即得②因为
5． 设n 阶方阵
【答案】只须证C 的特征值
故其
次项系数相等，从而
证法由于
从而由上知
，
【答案】①证法若A ，B 中有一个可逆，例如，A 可逆，则
最后将第n 列加到第n+1列，即
且C 与A 、B 可交换，则C 为幂零阵。
全是0即可.
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