2017年东北理工大学代数基础(同等学力加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 计算
其中
【答案】加边得
2． 用初等对称多项式表出下列n 元对称多项式：
（1）（2）（3）（4）（
【答案】（1）（2）（3）（4）
3． 求方程组
的所有实数解. 【答案】设
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表示所有由
经过对换得到的项的和. ）
由②、③得
以x , y，z 为根作3次方程
由⑥知，2, y，x 中有一个等于n ，再由①知另外两个互为相反数，因此原方程组的解为
或
或
其中k 为一切非零实数.
4． 设复矩阵
问矩阵A 可能有什么样的若当标准形? 并求A 相似于对角阵的充要条件. 【答案】计算可得
所以A 的特征值为
因此A 的若当标准形有如下两种（不计若当块的次序）
A 相似于对角阵
有不变因子
但
有二阶子式
即证A 相似于对角阵
5．
设
是V 的一个变换，
且
都
有
是欧氏空间V 的线性变换
，
证明：（1）是V 的线性变换； （2）的值域【答案】（1）
等于的核
的正交补 由题设可得
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由的任意性知
同理，所以
由式（1）、式（2）得t 是V 的线性变换. （2）可等价地证明
有
所以
则有
所以
从而
结合①、②可得
6． 设
且
有
和b 满足何种关系时AX=0只有零解、有非零解？并求其一基础解系.
因此
时
AX=0只有零解.
同解. 此时（n>l）有无穷多解. 由于
不妨
问：【答案】易知当b ≠0且
当b=0时，AX=0与设
于是有基础解系为
当
即
），得
时，对A 施行初等行变换（第一行乘-1加至其余各
行，再第2, …，n 行都乘
由此得同解方程组
：且r （A ）=n-l，而
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为AX=0的
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