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一、分析计算题

1． 设

①若对任意②若对任意③

为两个非零多项式. 证明： 由由对任意

都有相应的

则

但

与假设不合，故必

则有

也有（4）式，故

那么

【答案】因为

故有

两式相乘，得

因此，根据定理3, 有

3． 设

为次数大于零的两个互素的多项式.

次数案故

】设

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必得

必得

使

则则

【答案】①若不然，设

②若不然，同①所设，可知有

但③若其中

2． 证明：如果

从而有

反之，若对任意h （x ）都有（4）式，则特别地，

及使

证明：存在唯一的【由于

答，

次数，

因

次数为

次数使

故

有

代入（5）得由于设另有（7）减（8）:于是

必

u

同理有

为反对称的充要条件是：

对任意

4． 试证：线性空间V

上双线性函数

【答案】充分性. 任取. 则有

又因为

故

从而由（6）知：

故

都有

故

必要性. 任取

由

故

5． 将A 化为若当标准形，其中

【答案】令

则

由若当标准形为

故

则A 1的特征值为-1 （2重），-1的几何重数为由

的若当标准形为

则

故

的

即

为反对称.

的特征值为1 （2重），1

的几何重数为

综上所述，A 的若当标准形是

注对于准对角矩阵

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可以对每一主对角元A i 求出其若当标准形

则

是A 的若当标准形.

6． 设B 是实数域上

【答案】（1）

（2）

（3）

（4）

由于

的一个内积，从而成为欧氏空间. 7． 证明:

【答案】设①式左端为

先加边，则

所以

由上可知

，

定义了

上

矩阵，

对任一大于0的常数n , 证明

定义了

单位矩阵.

的一个内积，使得成为欧氏空间. 其中表示列向量的转置，E 表示

8． 设的值.

【答案】

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的最大公因式是一个2次多项式，求t , u