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一、分析计算题

1． 设A 为实数域R 上的一个n 阶方阵，满足

（1）设

为A 的一个特征值，证明：也是

的特征值.

两边取转置行列式，得

即也

（2）证明：如果A 的所有特征值都是实数，则A 是一个对称矩阵. 【答案】（1）由是A 的特征值，则是

的特征值.

（2）对矩阵的阶数用归纳法n=l时，结论是显然的. 设结论对n-1时成立. 对于n 阶矩阵A , 设口且

由于是

得

比较等式

的（1，1）元，知结论成立。

2． 证明：

在此基下的坐标.

【答案】设以故又设

为行向量的方阵为A , 则

线性无关，是的一组基.

则由此得

则

进而

注意到B 是n-1阶实矩阵，特征值全为

知A 是对称矩阵. 故n 时结论成立. 由归纳原理，

实数，由归纳假设，B 为对称矩阵，由式

是A 特征值，由

是实数，存在实特征向量

则

将其单位化，仍记为

是正交矩阵，

在n 维欧几里得空间中，将

扩充为标准正交基

为n 元行空间的一基，

再求

由此又得这就是

在基之下的

坐标.

3． 设有分块阵

（1）（2）【答案】⑴

两边取行列式，即证

（2）

即

4． 设

问a ，b 满足什么条件f （X ）正定.

【答案】（1）当变元的个数为偶数2m 时，f 的矩阵为

其中A ，D 可逆，证明：

于是

故A 的特征值为a+b，a-b （均为m 重），故（2）当变元的个数为奇数2m+l时，a+b，a —b ，f 正定

综上所述，f 正定

故A 的特征值为

5． 若n 阶方阵A 与B 只是第j 列不同，试证

【答案】设

则

于是

6． 设

是具有通常内积的欧氏空间，W 是的子空间.

是下列方程组

的解空间，求（2）求W 和

在

中的正交补

（1）如

的标准正交基.

【答案】（1）原方程组的系数矩阵

所以原方程组

分别令

可得

故原方程组的子空间

其中