2017年广西师范大学数学综合(高等代数与数学分析各占50%)之高等代数复试实战预测五套卷
● 摘要
一、分析计算题
1． 设二次型
（1）求二次型的矩阵的所有特征值； （2）若二次型的规范形为【答案】（1）二次型
的矩阵
求α的值.
由于
所以A 的特征值为
（2）解法1由于
的规范形为故有当兰. 当
时，时
.-时，
所以A 的特征值有2个为正数，1个为零. 又
于是
所以A 合同于
此时的规范形为
此时的规范形为
此时的规范形为
不合题意.
不合题意.
其秩为2，
综上可知，
解法2由于的规范形为所以
2． 如果
不全为零. 证明：
【答案】根据定理2, 有多项式是
使于
再根据定理3, 即得
3． 设
求证：
【答案】用反证法.
如果（x ）有一个不可约因式，设为
能整
除
中的一个，
设为
于是
中的一个，设
为
因此
同
理
都是多项式，而且
则d
根据不可约多项式的性质
，
整
除
与假设矛盾. 所
以
4． 证明：起阶方阵A 相似于对角方阵的充分必要条件是对每个数m ，曲出
【答案】设可以导出
其中E 是单位方阵，x 是n 维列向量. 是
的含意是
的解空间，
但总有
是
的解空间，条件‘
因此本题可改为
先证必要性. 设
其中当
为A 的全部特征值.
时，
所以
于是
而
由②，③即证当
（还可能有多重特征值. 证法类似）时，有
可以导
仍有所以即
再证充分性. 设用反证法，
若A 不相似于对角阵，则由若由定理，一定存在若当形矩阵，
其中
那么令
则
则由⑦，⑧知这与矛盾. 所以A 相似于对
角阵.
5． 设A ，B 为实对称方阵. 证明：存在正交方阵U 使
【答案】设有正交方阵U 使
与同为对角矩阵
由此易知：
从而得AB=BA.
反之，设AB=BA.由于A 为实对称，故存在正交方阵U. 使
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