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一、证明题

1． 叙述并证明:二元函数极限的惟一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理.

（1）惟一性定理:若极限. （2）局部有界性定理:若

.

上有界.

（3）局部保号性定理:若的某空心邻域

当从而,

由

的任意性, 故A = &

则对

存在

对

即

这说明函数（3）设A>0, 取故当

在

上有界.

由函数极限的定义知:存在相应的

时,

对于A<0的情况可类似证明. 2． 若函数

. 满足恒等式

z ）则称F （x , y ，为k 次齐次函数，

对一切

有

有

使得对一切点

在点

时,

【答案】（1）设A , B都是二元函数

, 则对任意正数或<0）

恒有

（或

处的极限, 则对任给的

存在, 存在

）

存在, 则它只有一个极限.

则存在点

的某空心邻域

使

在

（2）设

试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F （x ，y , z ）为k 次齐次函数的充要条件是:

并证明:

为2次齐次函数.

令

两边对t 求导得

【答案】（1）必要性 由令t=l则有

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充分性

设令

由己知，得所以（2）因为

求关于t 的偏导数得

于是仅是x , y , z 的函数，记

，令

，

因此

所以z （x ，y ）为2次齐次函数.

3．

设f

以为周期且具有二阶连续的导函数, 证明f 的傅里叶级数在上一致收敛于f.

【答案】因f

（X ）是以为周期的具有二阶连续导数的函数, 故f （x ）, f （

x ）可展开成傅里叶级数,

不妨设

要证f （x ）的傅里叶级数在

上一致收敛于, f 只需要证明级数

收敛, 则由定理可知f （x ）的傅里叶级数一致收敛于f 由周期性可得所以

由贝塞尔不等式知级数

收敛, 再由

收敛知

收敛, 所以f 的傅里叶级数在

4． 证明:

（1）grad （u+c）=gradu（c 为常数）； （2）（3）（4）【答案】设

则

因此

1收敛, 进而

上一致收敛于f

（

为常数）

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（1）（2）

（3〕

（4）

二、解答题

5． 设

试求【答案】当

时, 由

知

当

时, 有

6． f （x ）是以

（1）求函数

为周期的连续函数, 其傅里叶系数为

的傅里叶系数

,

;

（2）利用题（1）的结果证明帕塞瓦尔（Parseval ）等式

【答案】（1）（2）由题（1）得

, 在G （x ）中令x=0, 得

即

7． 若f （x ）在

【答案】

设

内连续, 且

则

对

存在, 求证:f （x ）在, 存在X0, 使得当xX 时

,

内有界.

即有